Поверхностный интеграл первого рода («сфера»)

[Alfucio]

Здравствуйте!

Пытаюсь решить задачу 12 из параграфа 11 из сборника задач Кудрявцева и др., том III, стр. 287 (Кудрявцев Л. Д., Кутасов А. Д., Чехлов В. И., Шабунин М. И. Сборник задач по математическому анализу. Том 3... — М. : ФИЗМАТЛИТ, 2003):

$\[\mathop \int\!\!\!\int \limits_S f(r)\;dS\]$, где $\[r = \sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}} ,f(r) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {1 - {r^2},r \le 1}\\ {0,r > 1} \end{array}} \right.,S\]$ — плоскость $x + y + z = a$.

Удалось записать его в виде повторного:

$$\sqrt{3}\int\limits_{1/3\,a-1/3\, \sqrt{-2\,{a}^{2}+6}}^{1/3\,a+1/3\, \sqrt{-2\,{a}^{2}+6}}\,\left[\int\limits_{1/2\,a-1/2\,y-1/2\, \sqrt{-{a}^{2}+2\,a y-3\,{y}^{2}+2}}^{1/2\,a-1/2\,y+1/2\, \sqrt{-{a}^{2}+2\,ay-3\,{y}^{2}+ 2}}\!(1-{x}^{2}-{y}^{2}- \left( a-x-y \right) ^{2}){dx}\right]{dy}$$

(совпадает с ответом).

Что представляет собой данный интеграл? Проекция поверхности (части плоскости $x + y + z = a$), на которой подынтегральная функция не равна нулю, на плоскость X-Y представляет собой эллипс. Вот откуда и получился верхний интеграл.

Проверку, что получившийся интеграл совпадает с ответом, я проводил с помощью Maple.

Но считать его достаточно долго (если вообще получится в таком виде). Замены пробовал, но не получилось. Подскажите, пожалуйста, что лучше сделать? Заранее спасибо! :)

[Null]

А повернуть чтоб плоскость стала параллельна $OXY$ нельзя?