Треугольник с целыми сторонами, медианами и плошадью?

[Sandor]

scwec в сообщении #426184 писал(а):

Так почему всё же из ${U_1}^2{U_2}^2={m_y}^2-(\frac{y_1}{2})^2$ следует,что
${U_1}^2={m_y}-\frac{y_1}{2}$
${U_2}^2={m_y}+\frac{y_1}{2}$
Кто-нибудь ответит?
Автор понятного объяснения пока не дал. А ведь это у него гвоздь доказательства.
Информация к размышлению:
Известна Leech's problem, которая имеет непосредственное отношение к теме:
Find two rational right-angled triangles on the same base whose heights are in the ratio N:1.
Решена для N=2,...,999, а может быть уже и дальше с помощью техники эллиптических кривых и в предположении, что верна гипотеза Бёрча и Свиннертон-Дайера. Рациональные треугольники появляются с N=7.
Задача о рациональности-нерациональности длин медиан рационального прямоугольного треугольника сводится к проблеме Лича при N=2. Всего-то и надо доказать, что ранг эллиптической кривой $y^2=x^3+5x^2+4x$ равен нулю и вычислить группу кручения этой кривой.
Известные элементарные (без эллиптических кривых) доказательства при N=2, N=3 довольно непростые.
Делайте выводы.

Чтоб «не стрелять по воробьям из орудий» привожу ещё одно элементарное доказательство.

Для негативного решения достаточно доказать наличие одной ненатуральной медианы в элементарных чётно-однородных треугольниках Герона. Запишем формулу медианы $m_x :$$m_x = \frac{{\sqrt {2(y_1^2 + z_1^2 ) - x_1^2 } }}{2},$ где $x_1 = U_1 U_2 ,y_1 = \frac{{U_2^2 - U_1^2 }} {2},z_1 = \frac{{U_2^2 + U_1^2 }}{2}.$
Подставляя значения $x_1 ,y_1 ,z_1 $ в формулу, имеем:

$$m_x = \frac{{\sqrt {2(y_1^2 + z_1^2 ) - x_1^2 } }} {2} = \frac{{\sqrt {2\left[ {\left( {\frac{{U_2^2 - U_1^2 }} {2}} \right)^2 + \left( {\frac{{U_2^2 + U_1^2 }} {2}} \right)^2 } \right] - U_1^2 U_2^2 } }} {2} = \frac{{\sqrt {U_1^4 - U_1^2 U_2^2 + U_2^4 } }}{2}.$$

Так как выражение $\left( {U_1^4 - U_1^2 U_2^2 + U_2^4 } \right) - $ не полный квадрат, медиана $m_x $ ненатуральная.

С уважением: Sándor

[scwec]

Sandor, Вы забыли доказать, что ${U_1}^4-{U_1}^2{U_2}^2+{U_2}^4$ -не полный квадрат для любых натуральных ${U_1}\ne{U_2}$

[Sandor]

scwec в сообщении #426682 писал(а):

Sandor, Вы забыли доказать, что ${U_1}^4-{U_1}^2{U_2}^2+{U_2}^4$ -не полный квадрат для любых натуральных ${U_1}\ne{U_2}$

По определению:

Произведение суммы двух величин на неполный квадрат разности равно сумме их кубов:

$$\left( {U_1^2 + U_2^2 } \right)\left( {U_1^4 - U_1^2 U_2^2 + U_2^4 } \right) = U_1^6 + U_2^6 = \left( {U_1^2 } \right)^3 + \left( {U_2^2 } \right)^3 .$$

С уважением: Sándor

[scwec]

Sandor, приведенноё Вами очевидное тождество, конечно, не является доказательством.
Рекомендую ознакомиться с известным достаточно элементарным доказательством, например, в книге
L.J.Mordell
Diophantine Equations
Academic Press (London and New York)
1969 г. стр.20-21.

[Sandor]

scwec в сообщении #427756 писал(а):

Sandor, приведенноё Вами очевидное тождество, конечно, не является доказательством.
Рекомендую ознакомиться с известным достаточно элементарным доказательством, например, в книге
L.J.Mordell
Diophantine Equations
Academic Press (London and New York)
1969 г. стр.20-21.

Указанные страницы книги (именно 20-21) на интернете недоступны. Если это не трудно, прошу Вас выслать по ЛС, для ознакомления.

Доказательство ненатурального значения медианы $m_x $ опирается на формулу сокращённого умножения. Она изначально доказана, не требует доказательства при исползовании. По определению: произведение суммы двух величин (любых натуральных значений $U_1 \ne U_2 $) на неполный квадрат разности равно сумме их кубов. Следовательно, требуется лишь доказать, что выражение $\left( {U_1^4 - U_1^2 U_2^2 + U_2^4 } \right) - $ тоже не полный квадрат. Этот факт доказывается «очевидным тождеством». Ибо тождества нет, если подставленное выражение $\left( {U_1^4 - U_1^2 U_2^2 + U_2^4 } \right) - $ полный квадрат. Значит, медиана $m_x $ не имеет натурального значения. А множество натуральных чисел содержит любые натуральные значения $U_1^2 \ne U_2^2 .$ Получается, что Вы ставите под вопрос формулу сокращённого умножения.

С уважением: Sándor

[scwec]

Sandor,http://reslib.com/book/Diophantine_equations__Mordell_L_J__ - здесь можно почитать указанную книгу Л.Дж.Морделла.
В отношении Ваших умозаключений ничего не понял. Не понятно даже, доказали Вы что-нибудь в Вашем основном тексте или нет. Видно, не судьба.
На этом переписку с Вами заканчиваю.

[Sandor]

r-aax

На первой странице допущена описка.

Неверно:$x^2 + y^2 = z^2 ,125^2 + 725^2 = 750^2 ,5^2 + 29^2 = 30^2 ,$
верно:$x = 125,y = 725,z = 750,x = 5,y = 29,z = 30.$

Приношу извинения.

С уважением: Sándor

[dmd]

Формулы этой задачи продолжают удивлять, количество разностей квадратов в ней зашкаливает.

$16s^2=(2am_a)^2-(b^2-c^2)^2=(2bm_b)^2-(c^2-a^2)^2=(2cm_c)^2-(a^2-b^2)^2$
и
$9s^2=(\frac{3}{2}am_a)^2-(m_b^2-m_c^2)^2=(\frac{3}{2}bm_b)^2-(m_c^2-m_a^2)^2=(\frac{3}{2}cm_c)^2-(m_a^2-m_b^2)^2$

Получается, в случае наличия натурального решения катету $4s$ должны соответствовать шесть разных пифагоровых треугольников. В книге Серпинского "Пифагоровы треугольники" написано, что существует конечное число пифагоровых треугольников с одинаковым катетом. Но зависимость от величины катета непонятна. Численным перебором легко найти треугольник с двумя натуральными медианами и натуральной площадью. Может таки решение существует?

[Sandor]

dmd в сообщении #429621 писал(а):

Формулы этой задачи продолжают удивлять, количество разностей квадратов в ней зашкаливает.

$16s^2=(2am_a)^2-(b^2-c^2)^2=(2bm_b)^2-(c^2-a^2)^2=(2cm_c)^2-(a^2-b^2)^2$
и
$9s^2=(\frac{3}{2}am_a)^2-(m_b^2-m_c^2)^2=(\frac{3}{2}bm_b)^2-(m_c^2-m_a^2)^2=(\frac{3}{2}cm_c)^2-(m_a^2-m_b^2)^2$

Получается, в случае наличия натурального решения катету $4s$ должны соответствовать шесть разных пифагоровых треугольников. В книге Серпинского "Пифагоровы треугольники" написано, что существует конечное число пифагоровых треугольников с одинаковым катетом. Но зависимость от величины катета непонятна. Численным перебором легко найти треугольник с двумя натуральными медианами и натуральной площадью. Может таки решение существует?

Как я писал раньше, треугольник с катетом 4s и 3s не имеет прямого отношения к треугольникам Герона с площадью 4s и 3s. Но если рассматривать любой треугольник Пифагора с катетом $4s = 2U_1 U_{2,} $ где $\left( {U_1 ,U_2 } \right) = d \geqslant 1 - $ нечётные числа, то из катета $4s = 2U_1 U_{2} $ исходного треугольника можно получить j треугольников Пифагора с тем же общим катетом, где j определяется значением $U_1 U_2 $. Методика приведена в первой части этой темы, начиная от заголовка "Определение исходных треугольников". Например, при $U_1 = 15,U_2 = 28$ получаем $j = 276$.

Согласно доказательству, треуголтника Герона с тремя натуральными медианами не существует. Приведите, пожалуйста, пример треуголтника Герона с двумя натуральными медианами.

С уважением: Sándor

[dmd]

Sandor в сообщении #429719 писал(а):

Приведите, пожалуйста, пример треуголтника Герона с двумя натуральными медианами.

Нашел таких несколько, у которых половинки сторон взаимнопросты:

$\{146,102,52\}$
$\{1750,1252,582\}$
$\{8736,7346,2482\}$
$\{29582,28768,22514\}$

Из вышеприведённых порождаются другие треугольники с невзаимнопростыми половинками сторон.

[palladin89]

вот решение проблемы
a=12 b=16 c=20 poluperimeter=24 mediana=10 square=96
Все числа целые!!!

[INGELRII]

В смысле

palladin89 в сообщении #519399 писал(а):

mediana=10

? Отдельные несознательные личности утверждают, что в треугольнике есть аж три медианы, а вовсе не одна. К примеру, та, что опущена на сторону $a$, в вашем треугольнике будет равна $2 \sqrt{73}$. Это число не целое, однако. Контрпример не засчитан.

[palladin89]

так хорошо возникает вопрос, необходимо отталкиваться от равностороннего треугольника, т.о. получится что все медианы равны?

-- 25.12.2011, 12:24 --

а как вам такой результат
a=b=c=140737488355328
poluperimeter=211106232532992
mediana=121882240180531
square=8576700179064360000000000000,0

[hurtsy]

palladin89 в сообщении #519529 писал(а):

а как вам такой результат
a=b=c=140737488355328
poluperimeter=211106232532992
mediana=121882240180531
square=8576700179064360000000000000,0

Вы показали, что $\frac {\sqrt 3} 2$ является рациональным числом.
Вычисления, похоже, Вы никогда не любили. С бесконечным уважением ,

[Sandor]

palladin89 в сообщении #519399 писал(а):

вот решение проблемы
a=12 b=16 c=20 poluperimeter=24 mediana=10 square=96
Все числа целые!!!

Формулы, генерирующие треугольники Герона, выше приведены правильно! Доказательство дилеммы существования 3-х целочисленных медиан у треугольников Герона – неверное! dmd выше приводит примеры треугольникиов Герона с любыми двумя натуральными медианами, что и приводит к осложнению доказательства. Треугольников Герона с равными сторонами не существует. Площадь таких треугольников, исходя из формулы Герона, иррациональная:

$$\omega = \frac{{\sqrt 3 }} {4}a^2 ,$$

где а – стороны треугольников.