Помогите отыскать континуум последовательностей

[Xenia1996]

Доказать существование континуума бесконечных последовательностей $n_1, n_2, n_3, \dots$ натуральных чисел таких, что $n_1^2+n_2^2+\dots +n_m^2$ является квадратом натурального числа при любом m.

(Оффтоп)

Я нашла бесконечное, но счётное множество таких последовательностей. Начнём с пифагоровой тройки $3^2+4^2=5^2$
Пусть 3 и 4 будут первыми членами нашей первой последовательности. Сумма их квадратов=25. Любое нечётное число (в том числе и 25) - это разность двух соседних квадратов. Воспользуемся этим: $25+12^2=13^2$

Таким образом, первые три члена нашей первой последовательности будут 3, 4, 12, а сумма их квадратов=169, тоже нечётное число. $169+84^2=85^2$
Получаем уже 4 элемента: 3, 4, 12, 84. Теперь нужно доказать, что мы всегда можем повторить описанную процедуру. До сих пор мы получали только чётные числа (12 и 84). Несложно доказать по индукции, что это свойство сохранится на протяжении всей последовательности, ибо квадрат нечётного числа дарамдаш остаток 1 при делении на 8.

Итак, наша первая последовательность имеет бледный вид 3, 4, 12, 84, 3612, ...

Если каждый член этой последовательности удвоить, последовательность сохранит свойства, требуемые в условии задачи. Таким образом, множество наших последовательностей будет

3, 4, 12, 84, 3612, ...
2*3, 2*4, 2*12, 2*84, 2*3612, ...
4*3, 4*4, 4*12, 4*84, 4*3612, ...
8*3, 8*4, 8*12, 8*84, 8*3612, ...
.
.
.

Разумеется, это множество бесконечно.
Проблема лишь в том, что оно счётно

[svv]

Вы можете придумать так, чтобы на каждом шаге Вы могли выбирать один из двух алгоритмов нахождения следующего $n_k$, назовем эти алгоритмы $A$ и $B$? Тогда Вы сопоставляете Вашей последовательности бесконечную двоичную дробь, у которой $k$-й разряд равен $0$, если на $k$-м шаге использовался алгоритм $A$, и $1$, если использовался алгоритм $B$.

[Xenia1996]

svv в сообщении #427389 писал(а):

Вы можете придумать так, чтобы на каждом шаге Вы могли выбирать один из двух алгоритмов нахождения следующего $n_k$, назовем эти алгоритмы $A$ и $B$? Тогда Вы сопоставляете Вашей последовательности бесконечную двоичную дробь, у которой $k$-й разряд равен $0$, если использовался алгоритм $A$, и $1$, если использовался алгоритм $B$.

Спасибо за идею, попробую придумать.

[ИСН]

Проблема (надеюсь, устранимая) в том, что на некоторых шагах разветвление в принципе невозможно.

[Xenia1996]

Может ли помочь следующий факт?

Всякая пифагорова тройка $(a,\;b,\;c)$ задаёт точку с рациональными координатами $\left( \frac a c,\;\frac b c \right)$ на единичной окружности $x^2+y^2=1$