Интеграл

[swact]

Снова я и снова несобственный интеграл. Теперь вопрос вот какой:
дан интеграл $\[\int\limits_8^{ + \infty } {{t^{\frac{{a - 2}}{3}}}arctg\frac{{\ln t}}{{3{t^{\frac{1}{3}}}}}\sin tdt} \] $
Нужно определить при каких $a$ он сходится условно.
Ясно, что это нужно делать по признаку Дирихле. Но только вот без использования эквивалентности функции $g(t)$ при $t\to+\infty$ я обойтись не смог. Можно ли при доказательстве условной сходимости знакопеременного интеграла использовать эквивалентность, если я обозначил $\[g(t) = {t^{\frac{{a - 2}}{3}}}arctg\frac{{\ln t}}{{3{t^{\frac{1}{3}}}}}\]$ и доказывал следующим образом:
$\[1)\forall \xi \in [8, \+\infty ) \to |\int\limits_8^{ \xi } {\sin tdt} | < 2\]$ - ограниченность первообразной от синуса
$\[2)g(t) = {t^{\frac{{a - 2}}{3}}}arctg\frac{{\ln t}}{{3{t^{\frac{1}{3}}}}} \sim C{t^{\frac{{a - 3}}{3}}}\ln t,C > 0,t \to + \infty \]$
откуда $\[\mathop {\lim g(t) = 0}\limits_{t \to + \infty } \]$ при $\[a - 3 < 0 \Leftrightarrow a < 3\]$
3)$\[g'(t) \sim \frac{{a - 3}}{3}{t^{\frac{{a - 3}}{3} - 1}}\ln t - {t^{\frac{{a - 3}}{3} - 1}} = {t^{\frac{{a - 6}}{3}}}(\frac{{a - 3}}{3}\ln t - 1) < 0\] $ при $\[a < 3\]$ - монотонность функции $g(t)$
Следовательно, при $a<3$ интеграл сходится условно.

[ewert]

В принципе верно, но:

1) иногда он сходится всё-таки и абсолютно;

2) монотонность неверно доказана -- это нужно делать обязательно до замены на эквивалентную, а не после.