Снова я и снова несобственный интеграл. Теперь вопрос вот какой:
дан интеграл
![$\[\int\limits_8^{ + \infty } {{t^{\frac{{a - 2}}{3}}}arctg\frac{{\ln t}}{{3{t^{\frac{1}{3}}}}}\sin tdt} \]
$ $\[\int\limits_8^{ + \infty } {{t^{\frac{{a - 2}}{3}}}arctg\frac{{\ln t}}{{3{t^{\frac{1}{3}}}}}\sin tdt} \]
$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/5/d/f5d9f63429c90d405291b4ad4239cdad82.png)
Нужно определить при каких

он сходится условно.
Ясно, что это нужно делать по признаку Дирихле. Но только вот без использования эквивалентности функции

при

я обойтись не смог. Можно ли при доказательстве условной сходимости знакопеременного интеграла использовать эквивалентность, если я обозначил
![$\[g(t) = {t^{\frac{{a - 2}}{3}}}arctg\frac{{\ln t}}{{3{t^{\frac{1}{3}}}}}\]$ $\[g(t) = {t^{\frac{{a - 2}}{3}}}arctg\frac{{\ln t}}{{3{t^{\frac{1}{3}}}}}\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/7/a/47afd3339a50494adaf529156f7caffc82.png)
и доказывал следующим образом:
![$\[1)\forall \xi \in [8, \+\infty ) \to |\int\limits_8^{ \xi } {\sin tdt} | < 2\]$ $\[1)\forall \xi \in [8, \+\infty ) \to |\int\limits_8^{ \xi } {\sin tdt} | < 2\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/9/c/19c8fc19dc55422c03efdda3776d186282.png)
- ограниченность первообразной от синуса
![$\[2)g(t) = {t^{\frac{{a - 2}}{3}}}arctg\frac{{\ln t}}{{3{t^{\frac{1}{3}}}}} \sim C{t^{\frac{{a - 3}}{3}}}\ln t,C > 0,t \to + \infty \]$ $\[2)g(t) = {t^{\frac{{a - 2}}{3}}}arctg\frac{{\ln t}}{{3{t^{\frac{1}{3}}}}} \sim C{t^{\frac{{a - 3}}{3}}}\ln t,C > 0,t \to + \infty \]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/c/2/2c2b7629c8f1a75dc8559bd77c267f6382.png)
откуда
![$\[\mathop {\lim g(t) = 0}\limits_{t \to + \infty } \]$ $\[\mathop {\lim g(t) = 0}\limits_{t \to + \infty } \]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/7/5/37538687f9c7ee41e65527b1689633eb82.png)
при
3)
![$\[g'(t) \sim \frac{{a - 3}}{3}{t^{\frac{{a - 3}}{3} - 1}}\ln t - {t^{\frac{{a - 3}}{3} - 1}} = {t^{\frac{{a - 6}}{3}}}(\frac{{a - 3}}{3}\ln t - 1) < 0\] $ $\[g'(t) \sim \frac{{a - 3}}{3}{t^{\frac{{a - 3}}{3} - 1}}\ln t - {t^{\frac{{a - 3}}{3} - 1}} = {t^{\frac{{a - 6}}{3}}}(\frac{{a - 3}}{3}\ln t - 1) < 0\] $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/f/1/bf1da315f1cbd0c51263a37e9901064082.png)
при
![$\[a < 3\]$ $\[a < 3\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/a/6/ba6d320ec1ec8ba946d41107f9cf483582.png)
- монотонность функции

Следовательно, при

интеграл сходится условно.