Уравнение с модулем

[Sonkina]

$|x+1|+|x-2|+|x-5|=6$

Раскрывать модули неохота, там целых 8 вариантов, как сделать проще?
Спасибо за ответ

[Maslov]

Sonkina в сообщении #426539 писал(а):

там целых 8 вариантов, как сделать проще?

Для начала, понять, что вариантов не 8, а 4.

[bot]

Точки $-1, 2, 5$ разделяют числовую ось не на 8 частей.

-- Ср мар 23, 2011 11:23:45 --

Maslov опередил, потому что я и сосчитал.

[Xenia1996]

Sonkina в сообщении #426539 писал(а):

$|x+1|+|x-2|+|x-5|=6$

Раскрывать модули неохота, там целых 8 вариантов, как сделать проще?
Спасибо за ответ

Модуль числа $x-a$ есть расстояние до числа a.
Сумма расстояний до -1 и 5 всегда равна 6 внутри отрезка, и больше 6 вне его, следовательно, искомая точка находится внутри отрезка $[-1; 6]$
Осталось лишь позаботиться, чтобы расстояние до 2 было нулевым, то бишь, искомая точка = 2

Ответ: 2

[Sasha2]

Лучше все-таки раскрывать модули и решать стандартным способом.
Там не ахти какие сложные выклатки.
Но можно и проще. Для этого сначала просто нарисуйте числовую ось и отметьте на ней точки -1, 2 и 5.
Тогда расстояние, между крайними точками (то есть между точками -1 и 5) сразу же позволит получить то единственное решение, которое есть у данного уравнения.

[Xenia1996]

Sasha2 в сообщении #426545 писал(а):

Но можно и проще. Для этого сначала просто нарисуйте числовую ось и отметьте на ней точки -1, 2 и 5.
Тогда расстояние, между крайними точками (то есть между точками -1 и 5) сразу же позволит получить то единственное решение, которое есть у данного уравнения.

(Оффтоп)

Это, типа, а теперь бы ещё и коленом?

Ну а я что сказала? Не то же самое?

[bot]

Xenia1996. Мудревато и неуниверсально. Здесь всё просто, но часты ошибки при переключениях с одного интервала на другой. Чтобы минимизировать число переключений, обычно показываю так:
1) Рисую числовую ось вертикально со стрелочкой вверх, через точки провожу горизонтальные линии, заботясь лишь о том, чтобы сохранилось их взаимное расположение и было достаточно место для написания и вычисления для каждого из случаев.
2) Приступаю к раскрытию модулей - раскрываю первый модуль во всех случаях, начиная сверху, потом второй, ...

Вот как это выглядит в даннон случае в динамике:

После раскрытия первого модуля:

x+1
x+1
x+1
-x-1

После второго:

x+1+x-2
x+1+x-2
x+1-x+2
-x-1-x+2
..............

(Оффтоп)

Уже после второго окошечко стало дёргаться, поэтгому и потому что и так понятно - закругляюсь

[Sasha2]

To Xenia.
Да Вы на время отправки сообщений то посмотрите.
Я просто Вашего сообщения не видел, когда писал свое.

[мат-ламер]

График выражения слева - симметричная выпуклая функция относительно точки $x=2$, в которой она достигает минимума равного $6$. (Точнее, симметричная относительно прямой $x=2$).