О множествах множеств включающих себя в качестве элемента

[creative]

Пытаюсь понять сущность парадокса Рассела в наивной теории множеств.

Приведите, пожалуйста, конкретные примеры множества множеств, которое включает себя в качестве элемента?

И законен ли следующий пример подобного множества множеств включающего себя в качестве элемента:

Определим множество $A$, которое содержит все те множества имя которых определено как гласная латинская буква. Соответственно это множество содержит себя в качестве элемента, так как его имя дано гласной латинской буквой $A$.

[svv]

creative писал(а):

И законен ли следующий пример подобного множества множеств включающего себя в качестве элемента

Возможно, не слишком законен, поскольку эквивалентные множества могут иметь разные имена.

Так, в данном случае можно определить множество $B$, содержащее (также, как $A$) все те множества, имя которых определено как гласная латинская буква. Тогда получается, что определения множеств $A$ и $B$ эквивалентны, но $A$ и $B$ не совпадают, так как $A$ содержит себя, а $B$ нет.

И мне кажется, что это ещё не парадокс Рассела, а дополнительные сложности, связанные с именами. Могу ошибаться.

[Sonic86]

creative писал(а):

Приведите, пожалуйста, конкретные примеры множества множеств, которое включает себя в качестве элемента?

Множество всех бесконечных множеств.
Множество всех множеств, содержащих себя в качестве своего элемента.

[creative]

Sonic86 в сообщении #425894 писал(а):

Множество всех бесконечных множеств.

Хороший пример.

Sonic86 в сообщении #425894 писал(а):

Множество всех множеств, содержащих себя в качестве своего элемента.

Это пример в данном не проясняет того как множество может содержать себя в качестве элемента.

[Sonic86]

Примеры их книжки взял.
Меня оба примера вырубают. Однако если объект как-то описан, то считается что он задан, несмотря на то, что он может быть описан очень непонятно.

[creative]

Я придумал ещё одно множество содержащее себя в качестве элемента:

Пусть дано множество M, которое содержит только те множества, которые при рекурсивном спуске содержат в качестве элементов натуральные числа.

Словесная формулировка туманна, поясню на примерах:

$\{\{\{\{2,\{3\}\}\}, \{\{\{3, 5\}\}\}\}, \{\{1\}, \{6\}\}, \{\{\{\{\{4\}\}\}\}\}\}$ - является таким множеством
$\{\{\{1\},\{\{\{7,3/4\}\}\}\},\{\{\{\{\{1\}\}\}\},\{4,8\}\},\{\{9,2\},\{3,5\}\}\}$ - не является таким множеством (один из конечных элементов не являющихся множеством содержит не натуральное число $3/4$)

Соответственно такое множество может включать себя в качестве элемента.

[Sonic86]

Это типа
1. $a \in \mathbb{N} \Rightarrow \{ a\} \in M$.
2. $A \in M \Rightarrow \{ A\} \in M$.
?
Прикольно...

[creative]

Sonic86

Да.

[Профессор Снэйп]

creative в сообщении #425872 писал(а):

Приведите, пожалуйста, конкретные примеры множества множеств, которое включает себя в качестве элемента?

Что значит "привести конкретные примеры"?

Множества нельзя ни нарисовать, ни пощупать. Можно лишь, имея список теоретико-множественных аксиом, доказывать из них существование множеств с некоторыми конкретными свойствами.

Если мы берём аксиомы наивной теории множеств, то из них можно доказать утверждение

$$ \exists r \forall x (x \in r \leftrightarrow x \not\in x), $$

из которого выводится ложное утверждение

$$ \exists r (r \in r \leftrightarrow r \not\in r) $$

В связи с этим наивная теория множеств противоречива.

Если же брать какую-нибудь более позднюю аксиоматику (например, ZFC), то в ней доказать эти утверждения, по-видимому, нельзя. По крайней мере, никто не знает, как это можно было бы сделать. А если верить Курту Гёделю, то недоказуемость этих утверждений из ZFC (если она, конечно, имеет место) мы никогда не докажем

[creative]

Профессор Снэйп

В Вашем изложении все понятно написано и в книгах я видел изложение парадокса Рассела примерно таким же образом. Но я подумал было бы неплохо представить как может выглядеть определенное (и желательно конечное) множество, которое имеет свойство $M \in M$.

Возможно если я абсолютно полностью разберусь как из аксиом наивной теории множеств шаг за шагом выводится утверждение

$$\exists r \forall x (x \in r \leftrightarrow x \not\in x),$$

то мне бы не захотелось удовлетворится представлением определенного множества, которое включает себя в качестве элемента.

[Профессор Снэйп]

creative в сообщении #426611 писал(а):

как из аксиом наивной теории множеств шаг за шагом выводится утверждение

Считайте, что в наивной теории множеств есть аксиома (точнее, схема аксиом)

$$ \exists r \forall x (x \in r \leftrightarrow \Phi(x)), $$

где $\Phi$ --- произвольное свойство множеств. Ну и теперь подставьте сюда частный случай $\Phi(x) = (x \not\in x)$.

creative в сообщении #426611 писал(а):

Но я подумал было бы неплохо представить как может выглядеть определенное (и желательно конечное) множество, которое имеет свойство $M \in M$.

Если отношение $\in$ фундировано, то никак

Если же Вы хотите понимать под принадлежностью нечно нестандартное, то я даже не знаю, что посоветовать. Опять же, что значит "выглядеть"? Множества никак не выглядят, от них фотоны не отражаются

[creative]

Профессор Снэйп

Под словом увидеть я подразумевал конкретный пример множества, например этого:

$$ \forall r \in \mathbb{N} ((\forall n \in N_1(n \in \mathbb{N})) \wedge (N_1 \in N_2 \in ... \in N_{r - 1} \in N_r)) \rightarrow \forall k \in \mathbb{N} \wedge k \leq r (N_k \in M) $$

Если я не ошибаюсь множество $M$ является собственным элементом.

А так я понял Ваш ответ.