Нестандартный несобственный интеграл

[swact]

Никак не могу додуматься, как можно доказать расходимость интеграла при $a\[ \le \]0$$\[\int\limits_1^{ + \infty } {\frac{{\sin \left( {x + \frac{1}{x}} \right)}}{{{x^a}}}} \]$ Критерий Коши не подходит, потому что синус неинтегрируется, следствие из признака Абеля вроде тоже... Или его всё-таки как то можно оценить снизу, чтобы получилась интегрируемая функция?
По формуле синуса суммы расписывал, но толку мало.

[Null]

Возьмите разность с хорошей функцией.

[swact]

Разность чего?

-- Пн мар 21, 2011 10:04:23 --

И есть еще вопрос: я могу доказать, расписав синус суммы по формуле на два слагаемых, что оба интеграла-слагаемых будут расходиться. Будет ли из расхождения слагаемых следовать расходимость суммы (т.е. исходного интеграла), когда у всех трех интегралов одинаковые границы интегрирования $(1,+\infty)$???

[ИСН]

$\int\limits_0^\infty x\,dx$ расходится.
$\int\limits_0^\infty (-x)\,dx$ расходится.
А сумма...

[swact]

Null
Какую разность и с какой целью?

[ewert]

swact в сообщении #425630 писал(а):

я могу доказать, расписав синус суммы по формуле на два слагаемых, что оба интеграла-слагаемых будут расходиться

Не можете -- оба слагаемых очевидно сойдутся: одно по признаку Дирихле, а второе так и вовсе абсолютно.

А, пардон, не заметил, что показатель неположителен. Ну элементарно. Найдите последовательность корней синуса: $x_k+\frac{1}{x_k}=\pi k$ (можно даже и не искать -- достаточно того, что $x_k=\pi k+o(1)$ при $k\to\infty$, а это очевидно). На каждом таком отрезке $\sin(x+\frac1x)=\sin x\,\cos\frac1x+\cos x\,\sin\frac1x$, причём интеграл по отрезку длины примерно $\pi$ от второго сдагаемого очевидно стремится к нулю, а от первого -- не менее очевидно нет, соответственно и интеграл от суммы будет примерно константой, вот Вам и Коши. Ну только надо ещё пару заклинаний добавить для учёта знаменателя

[swact]

ewert
даже при $a<0$?

[bot]

swact в сообщении #425703 писал(а):

ewert
даже при $a<0$?

В чью голову это пришло? Я считал, что это очевидная опечатка.

[swact]

ewert

ewert в сообщении #425700 писал(а):

по отрезку длины примерно $\pi$

Границы интеграла $[-\pi/2;\pi/2]$ как раз подойдут, да?

[ewert]

swact в сообщении #425716 писал(а):

Границы интеграла $[-\pi/2;\pi/2]$ как раз подойдут, да?

Как раз не подойдут -- нужно интегрировать по отрезку $[x_k;x_{k+1}]$, где $x_k=\pi k+\varepsilon_k$ -- корень (правый, естественно) уравнения $x+\frac1x=\pi k$, и $\varepsilon_k\to0$ при $k\to\infty$.

[swact]

swact в сообщении #425690 писал(а):

от первого -- не менее очевидно нет

Рассмотрим первое слагаемое:
$\[\begin{array}{l} {x_{k + 1}} = \pi (k + 1) + \varepsilon (k + 1)\\ \varepsilon (k + 1) \to 0\\ {x_{k + 1}} = \pi (k + 1) + o(1) = \pi k + \pi + o(1)\\ \int\limits_{\pi k}^{\pi k + \pi } {\sin x\cos (\frac{1}{x})dx \to } \int\limits_{\pi k}^{\pi k + \pi } {\sin xdx = |\sin (} \pi k + \pi ) - \sin (\pi )| = 0 \end{array}\]$
К какой же константе он стремится если не к нулю? Или я неправильно понимаю слова "интеграл стремится"?

[ИСН]

Интеграл от синуса...

[swact]

ой... точно это же косинус . Теперь ясно.