я могу доказать, расписав синус суммы по формуле на два слагаемых, что оба интеграла-слагаемых будут расходиться
Не можете -- оба слагаемых очевидно сойдутся: одно по признаку Дирихле, а второе так и вовсе абсолютно.
А, пардон, не заметил, что показатель неположителен. Ну элементарно. Найдите последовательность корней синуса:
![$x_k+\frac{1}{x_k}=\pi k$ $x_k+\frac{1}{x_k}=\pi k$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/c/c/4cc06bc26778b3ca723687f7df22174c82.png)
(можно даже и не искать -- достаточно того, что
![$x_k=\pi k+o(1)$ $x_k=\pi k+o(1)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/0/d/d0d2c8660144c8c214a6a7647b0def7882.png)
при
![$k\to\infty$ $k\to\infty$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/5/8/958d1607fd23a459365023c72140ffb182.png)
, а это очевидно). На каждом таком отрезке
![$\sin(x+\frac1x)=\sin x\,\cos\frac1x+\cos x\,\sin\frac1x$ $\sin(x+\frac1x)=\sin x\,\cos\frac1x+\cos x\,\sin\frac1x$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/7/c/87c230316e6d73b9b6099e370dfcab6a82.png)
, причём интеграл по отрезку длины примерно
![$\pi$ $\pi$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/3/0/f30fdded685c83b0e7b446aa9c9aa12082.png)
от второго сдагаемого очевидно стремится к нулю, а от первого -- не менее очевидно нет, соответственно и интеграл от суммы будет примерно константой, вот Вам и Коши. Ну только надо ещё пару заклинаний добавить для учёта знаменателя