О количестве простых чисел в интервале

[Droog_Andrey]

hjunec в сообщении #287288 писал(а):

Есть ли в интернете таблица простых чисел от 10^9 до 10^10 ?

Запустите программу
http://primzahlen.de/files/referent/kw/sieb.htm
вот таким образом:
ecprime.exe 10000000000 -n1000000000 -p1

Она создаст файл primes.txt со списком всех простых в этом диапазоне. Только будьте внимательны: размер файла составит более 4 гигабайт.

* * * * * * *

О количестве простых в интервалах, кратных $10^n$, можно почерпнуть информацию отсюда:
http://www.primefan.ru/stuff/primes/table.html

[serega57]

PAV в сообщении #289662 писал(а):

tapos в сообщении #289572 писал(а):

Разрешите полюбопытствовать - чем отличается сколь угодно большое число от бесконечно большого числа. Похоже отличие исключительно в грамматике и фонетике, а не в существе.

Я процитирую Ваше высказывание из соседней темы, выделив в нем заведомо неверные высказывания, вытекающие из якобы "бесконечно большого числа".

tapos в сообщении #289323 писал(а):

Дело в том, что количество подряд идущих составных чисел может быть бесконечно большим. Следом за этой бесконечностью следует простое число. Если Вы возьмете нечетное число в этой бесконечности составных чисел, то Вы не сможете вычислить все простые числа по техническим причинам: до ближайшего простого числа находится бесконечное множество составных чисел. Как эту бесконечность преодолеть - одному богу известно.

Количество подряд идущих составных чисел всегда конечно. Его нельзя ограничить сверху никакой константой, но бесконечного ряда составных чисел не существует, хотя Вы явно утверждаете обратное.

-- Вт фев 16, 2010 22:58:54 --

tapos в сообщении #289327 писал(а):

Следовательно, всевозможные доверительные интервалы - это иллюзии.

Повторяю вопрос. Приведите конкретный пример математически доказанного результата, являющегося "иллюзией", или признайте, что делаете суждения о вещах, о которых не имеете понятия.

ТЕОРЕМА. 7. Каким бы не было количество подряд идущих составных чисел, разница между целыми квадратными корнями из последнего числа и первого из ряда составных чисел не больше одного.

Если квадратный корень из первого числа меньше или равен целому корню ,то разница между первым и последним квадратным корнем в ряде подряд идущих составных чисел всегда ровна
нолю.

Количество подряд идущих составных чисел никогда не может быть больше чем, квадратный корень из любого числа этого ряда плюс один, делённое на два.

[NNDeaz]

ddn в сообщении #239520 писал(а):

Я бы с осторожностью относился к таким "доверительным" интервалам.
В теории чисел вообще туго с численными оценками тех или иных констант.
Например, в оценке:
$\pi(x)=Li(x)+O(xe^{-a\sqrt{\ln(x)}})=Li(x)+C\theta xe^{-a\sqrt{\ln(x)}}$.
Нигде не найти достоверной оценки такого $x_0=x_0(a,C)$ хотя бы для некоторых $a>a_0>0$ и $C>0$, что для всех $x\geqslant x_0$ справедливо $\theta\in[-1,1]$.

Но не это отвратительно. Что выводит меня из себя (и хочеться ругаться неприличными словами), так когда эти с позволения сказать авторы приводят подобную константу, но не указывают интервал ее справедливости - доказана ли ее справедливость на бесконечном интервале $[x_0,\infty)$, или она только проверена для чисел не превышающих некоторое большое $N$? Поди гадай...
Вот к примеру, на http://primes.utm.edu/howmany.shtml
есть такие оценки:
$x>598$: $\frac{x}{\ln(x)}\left(1+\frac{0.992}{\ln(x)}\right)<\pi(x)<\frac{x}{\ln(x)}\left(1+\frac{1.2762}{\ln(x)}\right)$;
$n>8601$: $n\left(\ln(n)+\ln(\ln(n))-1.0073)<p(n)<n(\ln(n)+\ln(\ln(n))-0.9385\right)$;
$n>15985$: $p(n)<n(\ln(n)+\ln(\ln(n))-0.9427)$;
$n>13$: $p(n)<n\left(\ln(n)+\ln(\ln(n))-1+1.8\frac{\ln(\ln(n))}{\ln(n)}\right)$;
$n>0$: $p(n)>n(\ln(n)+\ln(\ln(n))-1)$.
Про верхнюю границу для $x$ и $n$ не сказано ничего, но я уверен, что эти оценки только проверены для достаточно большого $x$ и $n$, и не более.

Так как $xe^{-a\sqrt{\ln(x)}}$ бесконечномалое относительно любого $\frac{x}{\ln(x)^n}$, то асимптотическое разложение $\pi(x)$ есть
$\pi(x)=\sum\limits_{k=1}^{N-1}(k-1)!\frac{x}{\ln(x)^k}+O(\frac{x}{\ln(x)^{N}})$,
откуда, обращая, можно получить асимптотическое разложение
$p(n)=n\ln(n)\left(1+\sum\limits_{k=1}^{N-1}\frac{\sum\limits_{l=0}^{k}a[k,l]\ln(\ln(n))^l}{\ln(n)^k}+\frac{\sum\limits_{l=0}^{L-1}a[N,l]\ln(\ln(n))^l}{\ln(n)^N}+O\left(\frac{\ln(\ln(n))^L}{\ln(n)^N}\right)\right)$,
где $N\geqslant 0$ и $0\leqslant L\leqslant N$.

Для всякого $x_0>1$ ($n_0>1$) можно подобрать доверительный интервал $[C_{-},C_{+}]$ для коэффициентов при остаточных членах этих разложений:
для $\pi(x)$: $O(\frac{x}{\ln(x)^{N}})=C\frac{x}{\ln(x)^{N}}$ и при $x\geqslant x_0$ будет $C\in[C_{-},C_{+}]$, очевидно также $N!\in[C_{-},C_{+}]$;
для $p(n)$: $O(\frac{\ln(\ln(n))^L}{\ln(n)^N})=C\frac{\ln(\ln(n))^L}{\ln(n)^N}$ и при $n\geqslant n_0$ будет $C\in[C_{-},C_{+}]$, очевидно также $a[N,L]\in[C_{-},C_{+}]$.

Сорри что не в тему, но вы здесь имеете ввиду, что $\pi(x)=p(x)$ ? Если нет, то тогда как вы определяете $p(x)$ ?

[Someone]

Насколько я знаю, стандартно $p(n)$ - это $n$-ное простое число: $p(1)=2$,$p(2)=3$,$p(3)=5$,...

[serega57]

Но не это отвратительно. Что выводит меня из себя (и хочеться ругаться неприличными словами), так когда эти с позволения сказать авторы приводят подобную константу, но не указывают интервал ее справедливости - доказана ли ее справедливость на бесконечном интервале , или она только проверена для чисел не превышающих некоторое большое ? Поди гадай...
Вот к примеру, на http://

Гадать здесь нечего т7 утверждае каково бы не было тоесть для всей чмсловой

И здесь нет ничего отвратиельного т 7 всего лишь следсвие теоремы 3 Где доказываеся что на любом отрезки от А до плюс минус А всегда найдётся как мипиму одно простое число

[serega57]

Прошу прощение за неумышленную опечатку в предыдушем сообшении теорему 3 следует читать Налюбом отрезке от а квадрат до а квадрат плюс минус а всегда располагается как минемум одно простое число