Сферическая система координат на индикатрисе

[В.О.]

Time в сообщении #423932 писал(а):

Ваши рассуждения носят абстрактно-качественный характер

Time, это не недостаток. Это достоинство.
Короче, ошибки Вы указать не можете. Никакого смысла что-то там вычислять я не вижу. Но, по неосторожности, пообещал. Может, дня через два-три.

[Time]

В.О.

Трудно убедить в ошибочности абстрактных рассуждений. Готов это сделать в случае выполнения неосторожно данного обещания о приведении доказательств в виде конкретных вычислений. На примере формул и в цифрах, думаю, должно дойти. Надеюсь, что Вы не заболеете, не забудете, не возьмете обещание назад и пр..

-- Пт мар 18, 2011 09:10:51 --

STilda

Еще один совет..
Обратите внимание, что в евклидовых пространствах все векторные базисы равноправны. В $H_n$, в том числе и на псевдоевклидовой плоскости, существует единственный выделенный базис с точностью до перестановок и масштабов по осям. Это базис из канонических изотропных векторов. Ортонормированные и прочие обычные базисы мы имеем возможность рассматривать и рисовать, только если помимо треугольника указан и этот единственный базис. Укажите его на своем листке и дальше можете действовать по аналогии с евклидовым случаем.

[STilda]

Хорошо. Я еще буду думать.
Мой вопрос по сути тот же что и В.О. задает. Я кажется нашел ошибку.

В.О.
Когда вы поворачиваете систему координат относительно пары векторов (тоесть фактически по разному прикладываете ее) и получаете разные результаты для величины угла. В физически реальном псевдоэвклидовом пространстве, при переносе (евклидовом) системы координат будет МЕНЯТЬСЯ (евклидово) и пара векторов. Вы же (и я в том числе) оставляете пару векторов неизменной. Но это не правильно. По физике сначала ставится система координат, потом В НЕЙ делаются измерения. И результаты измерений дают вам эту самую пару векторов. Таким образом, пара векторов будет на самом деле меняться(евклидово), в зависимости от того как вы приложите(евклидово) системы координат. С точки же зрения прикладываний в псевдоэвклидовом пространстве расположение и угол между векторами будет неизменным.

[В.О.]

Time в сообщении #424149 писал(а):

Надеюсь, что Вы не заболеете

Ну, форс мажор везде возможен. Ферма, вообще, отсутствием бумаги отболтался...Шучу, шучу.

Позвольте сначала я задам еще несколько вопросов. Может после этого надобность в вычислениях сама отпадет.
Если два единичных вектора имеют одну одинаковую координату $A_1 = B_1$, то угол между ними равен 0, см. формулу (33) в http://hypercomplex.xpsweb.com/articles ... /11-04.pdf Так?

STilda в сообщении #424323 писал(а):

в псевдоэвклидовом пространстве расположение и угол между векторами будет неизменным.

В обсуждаемой статье рассматривается пространство Н3. Физически я себе это представляю так. Два вектора приморожены к неподвижной среде. К скале, или скажем, к эфиру. Измерим между ними угол в некоторой декартовой системе координат. Теперь если сделать преобразование координат, то евклидов угол будет сохраняться только при движениях. При других преобразованиях угол может меняться. В Н3 угол будет сохраняться тоже только при движениях (группа D2, см. стр.47 ) Но Time считает, что угол будет сохраняться при любых преобразованиях и требует от меня числового примера не сохранения углов при преобразовании не из D2.

Time в сообщении #423377 писал(а):

Переходы между базисами могут быть любыми.

[STilda]

В.О. в сообщении #424372 писал(а):

Два вектора приморожены к неподвижной среде. К скале, или скажем, к эфиру.

Да. Это тоже самое, что я предлагал взять нарисованный треугольник. Но именно так делать и нельзя. Вы примораживаете в евклидовом смысле. Понимаете?
Еще раз, заметте как вы действуете в евклидовом случае: Поставили систему координат, померяли линейкой координаты, того что вы приморозили. На них провели вычисления угла. Потом поставили систему координат в другое место. ОПЯТЬ меряем координаты линейкой. Делаем расчеты углов. Получаем одинаковые углы. Зачем мы перемерили координаты второй раз? Потому что мы не знаем как выглядит объект с точки зрения новой системы координат. Мы как раз и проверяем, соответствует ли физика(перемерки линейкой) евклидовой мат модели.

Теперь другой эксперимент на котором я понял фокус. Лежит на столе листок бумаги и на нем нарисован треугольник. Я беру фотоаппарат и хожу вокруг стола, делаю фотки. Разные позиции объектива - разное положение системы координат. С разных позиций треугольник выглядит по разному. Вы на фотографии замеряете евклидовы углы треугольника и они будут разные. Но с позиций некоторого неевклидова пространства окажется, что углы как раз и одинаковые. Это и есть искажение объекта которое вы упускаете из виду.

-- Пт мар 18, 2011 17:45:42 --

К сожалению мы не можем провести реальные псевдоэвклидовы замеры и проверить расчеты. Посмотреть как объект искажается евклидово при этом не искажаясь псевдоевклидово.

[В.О.]

STilda в сообщении #424380 писал(а):

Вы примораживаете в евклидовом смысле. Понимаете?

Нет, не понимаю. Мы тут про математику.
Есть группа преобразований, сохраняющих расстояния (и автоматически углы). В Н3 это группа D2. Все остальные преобразования углы не сохраняют. Возражения есть?

[Time]

В.О. в сообщении #424372 писал(а):

Позвольте сначала я задам еще несколько вопросов. Может после этого надобность в вычислениях сама отпадет.
Если два единичных вектора имеют одну одинаковую координату $A_1=B_1$, то угол между ними равен 0, см. формулу (33) в http://hypercomplex.xpsweb.com/articles ... /11-04.pdf Так?

Так. Это означает, что между концами таких векторов экстремаль на индикатрисе имеет нулевую длину (интервал). Надеюсь, Вы знакомы с фактом, что в псевдоевклидовых пространствах есть вектора, длина (интервал) которых может быть нулевой при том, что не все их компоненты нулевые. На счет нулевого угла - примерно из той же оперы, только экстремаль тут не прямая, как в случае векторов, а кривая на индикатрисе.

В.О. в сообщении #424372 писал(а):

В обсуждаемой статье рассматривается пространство Н3. Физически я себе это представляю так. Два вектора приморожены к неподвижной среде. К скале, или скажем, к эфиру. Измерим между ними угол в некоторой декартовой системе координат. Теперь если сделать преобразование координат, то евклидов угол будет сохраняться только при движениях. При других преобразованиях угол может меняться. В Н3 угол будет сохраняться тоже только при движениях (группа D2, см. стр.47 ) Но Time считает, что угол будет сохраняться при любых преобразованиях и требует от меня числового примера не сохранения углов при преобразовании не из D2.

Мне остается лишь повторить, что вы не видите разницы между преобразованиями пространства (а вмести с ним и как бы вмороженных в него векторов некоего базиса) и переходами от одного базиса к другому. Это существенно разные ситуации и их требуется различать. Углы между фиксированной парой векторов не меняются при ЛЮБЫХ переходах между базисами. А вот если мы рассматриваем преобразования пространства, то могут не только поменяться углы, но и пространство из векторного может превратиться в невекторное (если преобразование нелинейное).

В.О. в сообщении #424406 писал(а):

Есть группа преобразований, сохраняющих расстояния (и автоматически углы). В Н3 это группа D2. Все остальные преобразования углы не сохраняют. Возражения есть?

Ну, вот опять.. Преобразования пространства и переходы от одного базиса к другому - РАЗНЫЕ действия, а Вы их отождествляете. Но даже если говорить об одних лишь преобразованиях, все равно, Ваше утверждение не полностью верно. Кроме группы вращений есть еще трехпараметрическая группа трансляций, которая также входит в группу движений $H_3$ и сохраняет углы между парами преобразованных векторов. А если углы рассматривать не только между векторами, но и между кривыми, в которые те переходят после нелинейных преобразований, то углы сохраняются и при конформных преобразованиях. Последняя группа в $H_3$ вообще бесконечнопараметрическая.

Жду конкретного примера с формулами и цифрами, о котором мы договорились..

-- Пт мар 18, 2011 19:15:26 --

STilda в сообщении #424380 писал(а):

К сожалению мы не можем провести реальные псевдоэвклидовы замеры и проверить расчеты. Посмотреть как объект искажается евклидово при этом не искажаясь псевдоевклидово.

Это не верное утверждение. Нужно просто к линейке, которой все мы пользуемся в евклидовом пространстве, добавить часы, которые выполняют аналогичную роль в некоторых случаях в псевдоевклидовых пространствах и всегда в пространствах $H_n$, так как последние в определенном смысле можно считать не пространством и даже не пространством-временем, а многмерным временем. Так что, вооружайтесь часами вместо линеек и мерейте себе на здоровье..

[В.О.]

Time в сообщении #424423 писал(а):

вы не видите разницы между преобразованиями пространства (а вмести с ним и как бы вмороженных в него векторов некоего базиса) и переходами от одного базиса к другому.

Может быть, сформулируете определения или дадите ссылки на них?

[Time]

Вообще-то всегда есть возможность поиска в интернете по ключевым словам, например:
"преобразования пространства", "переход от одного базиса к другому" и др.
Можно глянуть это:
http://lib.mexmat.ru/books/2964/s7
Разделы 14-5, 14-6.
По-сути, это активная и пассивная точки зрения на преобразования пространства и системы координат. На первый взгляд может показаться, что это почти одно и тоже, но это не так. В одном случае преобразовывается пространство и изменяются составляющие его объекты: вектора, линии, фигуры.. Во втором - пространство со всем своим содержимым остается неизменным, а происходит переход от одной системы координат к другой, в частном случае, линейной. Неужели Вы никогда не сталкивались с этими двумя понятиями? Наиболее рельефно разницу между одним и другим вариантом можно увидеть на примере комплексной плоскости, для которой существует бесконечнопараметрическая группа конформных преобразований, каждому из которых может быть приписан не только геометрический, но и физический смысл. В многомерных евклидовых и псевдоевклидовых пространствах это уже не так, да и группа конформных преобразований оказывается бедненькой, хотя размерность пространства имеет бОльшее число измерений. Надеюсь, теорию комплексного потенциала Вы помните и знакомы с ее приложениями? Вот тут наиболее отчетливо проявляется разница между активной и пассивной точками зрения на преобразования.
На плоскости двойной переменной и для всех пространств $H_n$ ситуация почти в точности такая же как на комплексной плоскости, да и конформные группы везде бесконечномерные, причем каждому из преобразований из таких групп, похоже, можно также придать не только геометрический, но и физический смысл.. По крайней мере, до числа измерений 4.

Как идет процесс написания примера с вычислениями углов между произвольной парой векторов в $H_3$ в двух произвольных базисах?

[В.О.]

Time в сообщении #424537 писал(а):

это активная и пассивная точки зрения на преобразования пространства и системы координат

Господи, я уже черти что подумал. Time, пожалуйста, обратите внимание на самую нижнюю строчку на стр. 427. " Смысл соотношений преобразований (3) следует отличать от смысла формально эквивалентных соотношений..." Активная и пассивная точка зрения формально эквивалентны. А смысл оставьте философам. Так что Вы правы, разницы между ними я не вижу. Потому, с математической точки зрения, ее нет.
Теперь приходится вернуться к Вашему утверждению из статьи, что в Н3 углы сохраняют только вращения D2 (доказанному, кстати, только в одну сторону.На доказательство в другую сторону Вы ссылку, извиняюсь, так и не дали). Ну и , конечно, трансляции. Как же без них.
Если мое преобразование не из D2, то оно, как Вы утверждаете, углов не сохраняет. Так зачем мне показывать еще и на конкретном примере, то, в чем Вы и так абсолютно уверены?

Time в сообщении #424537 писал(а):

Как идет процесс написания примера с вычислениями углов

Честно скажу, не тороплюсь. Мой жизненный опыт, вкупе с народной мудростью, позволяет сделать глобальный вывод, что не надо спешить выполнять команду. Ибо может последовать команда отставить. Но что, в свете вышесказанного, очень надеюсь.

[Time]

В.О. в сообщении #424548 писал(а):

Господи, я уже черти что подумал. Time, пожалуйста, обратите внимание на самую нижнюю строчку на стр. 427. " Смысл соотношений преобразований (3) следует отличать от смысла формально эквивалентных соотношений..." Активная и пассивная точка зрения формально эквивалентны. А смысл оставьте философам. Так что Вы правы, разницы между ними я не вижу. Потому, с математической точки зрения, ее нет.

Пожалуйста и Вы, В.О., обратите внимание на добавку формально к эквивалентны. Я занимаюсь не философией, а физикой. И, исходя из физических соображений, преобразования пространства и переходы к новым системам координат - имеют принципиально разные последствия. Я не просто так сослался на теорию комплексного потенциала и ее прикладные применения. Возьмите любую аналитическую функцию от комплексных чисел. Ее можно рассматривать как задающую на фоне плоскопараллельного потока идеальной жидкости новую систему координат, тогда как с потоком ничего не происходит; как был тривиально поступательным так таким и остался. Это последствия пассивной точки зрения. А если посмотреть так, как это делается в теории комплексного потенциала, то есть с активной точки зрения, то эта функция задает переход от плоскопараллельного потока к некоторому другому и часто сложно нелинейному. Например, функция Жуковского задает обтекание потоком цилиндра. Может кто-то хочет сказать, что невозмущенный плоский поток и обтекание им цилиндра - формально эквивалентны?
Точка зрения на формальную эквивалентность активной и пассивной точек зрения на преобразования пространства и координат сформировалась под влиянием успехов специальной и общей теории относительности. В первой работает только относительно бедная группа изометрических преобразований пространства-времени Минковского, а во второй - группа произвольных преобразований, за которыми в общем случае не стоит никакого физического смысла при активной точке зрения. Во многом это прямое следствие бедности на конформные группы симметрий пространства Минковского. Исключения из этого правила крайне редки. Грубо говоря, они связаны лишь с двумерными евклидовыми и псевдоевклидовыми плоскостями. Но двумерные задачи связанные с евклидовой плоскостью считаются экзотическим вырожденным и слишком простым случаем, а связанные с двумерным псевдоевклидовым пространством-временем еще не до конца разобраны, слишком тривиальны и довольно редко встречаются на практике. Для трехмерного евклидова, четырехмерного псевдоевклидова и пр. многомерных пространств с квадратичным типом метрики такой связи между физически осмысленными ситуациями и активной точкой зрения на преобразования не существует. Вот и закрепилось предложение считать оба взгляда на преобразования пространства и системы координат формально эквивалентными. Мы же занимаемся в основном такими пространствами, в которых группы метрически выделенных преобразований (в частности конформных) бесконечномерны. Нам такой вариант формальной эквивалентности совсем не подходит. Если не хотите разглядеть имеющейся разницы - Ваше право, но тогда на мои предложения увидеть за финслеровыми пространствами вида $H_n$ физические приложения - забейте. Без этого вряд ли что ни будь дельное получится..

В.О. в сообщении #424548 писал(а):

Теперь приходится вернуться к Вашему утверждению из статьи, что в Н3 углы сохраняют только вращения D2 (доказанному, кстати, только в одну сторону.На доказательство в другую сторону Вы ссылку, извиняюсь, так и не дали). Ну и , конечно, трансляции. Как же без них.

Отвечаю в порядке прозвучавших замечаний..
Устал повторять, что мое утверждение о сохранении углов между парой векторов после преобразований пространства из группы движений относилось к активной точке зрения. Вы же переносите этот тезис и на переходы от одной системы координат к другой. В этом случае с углами ровно ничего не происходит.
Что касается доказательства "в обе стороны". Можете глянуть книгу Гарасько:
http://hypercomplex.xpsweb.com/articles ... -gbook.pdf
начиная со страницы 130. Там вообще для общего случая пространств с коммутативно-ассоциативными алгебрами все на счет движений и конформных преобразований доказано. В любую сторону..
Про трансляции не Вы сказали, а я, хотя о строгости математических формулировок постоянно Вы твердите.
Вы говорите о несохранении углов не с активной точки зрения на преобразования, а при переходах от одного базиса к другому, то есть с пассивной. При таких переходах, независимо от того как Вы его осуществили углы между парами векторов сохраняются. Вы утверждаете обратное, но пока так и не привели конкретного доказателства, хотя уже не единожды обещали. Вы намерены выполнить?

В.О. в сообщении #424548 писал(а):

Если мое преобразование не из D2, то оно, как Вы утверждаете, углов не сохраняет. Так зачем мне показывать еще и на конкретном примере, то, в чем Вы и так абсолютно уверены?

Повторяю, что называется, по слогам.
При переходах от одного базиса к другому углы в пространстве $H_3$ сохраняются. И формула (33) содержит в себе именно это свойство. Тезис о несохранении углов при линейных преобразованиях не из группы движений относится совсем к иной ситуации, а именно к активной точке зрения на преобразования. Вы утверждаете, что при переходе к другому базису наше с Кокаревым предложение о правиле ввода угла в $H_3$ дает изменение его величины. То есть углы станут другими. Ну так покажите как это получается, не на пальцах, а в формулах, как и обещали. Вы все ищите лазейки как увильнуть от самим же данного обещания. Пора бы перейти от слов к делу. Уже второй день из трех пошел..

В.О. в сообщении #424548 писал(а):

Честно скажу, не тороплюсь. Мой жизненный опыт, вкупе с народной мудростью, позволяет сделать глобальный вывод, что не надо спешить выполнять команду. Ибо может последовать команда отставить. Но что, в свете вышесказанного, очень надеюсь.

Я Вам не командир, а Вы не подчиненный. Вы сами взяли соответствующее обязательство и дали обещание его выполнить. Вы вполне можете и отказаться от всего что обещали, только скажите об этом прямо, а не ищите поводов для увиливания. Я Вах им не дам.

[В.О.]

Time в сообщении #424579 писал(а):

Устал повторять, что мое утверждение о сохранении углов между парой векторов после преобразований пространства из группы движений относилось к активной точке зрения. Вы же переносите этот тезис и на переходы от одной системы координат к другой. В этом случае с углами ровно ничего не происходит.

Увы, происходит.
Повторять не надо. Надо сказать один раз, но внятно. Сейчас это получилось. Стало понятно где Вы ошибаетесь. При пассивной замене координат могут меняться расстояния, а следовательно и углы, также как и при активной. Слово "формально" означает, что результат вычислений будет одинаков, различается лишь интерпретация.

[Time]

В.О. в сообщении #424618 писал(а):

При пассивной замене координат могут меняться расстояния, а следовательно и углы..

Что называется, приплыли..
То есть, расстояния и углы даже в евклидовом пространстве у Вас зависят от замены системы координат? Или Вы такое свойство усмотрели лишь в пространствах $H_n$, включая и псевдоевклидову плоскость, в геометрии которой как Вы сами признались никогда не разбирались?

Короче, давайте прекратим бессмысленную пикировку и подождем, или обещанных Вами примеров с парой векторов и парой базисов, или честного признания, что Вы отказываетесь это делать под любым благовидным предлогом (создается впечатление, что Вы просто не умете проделывать вычисления сопутствующие переходам от одного базиса к другому), или самоустранения от разговора (без объяснения причин). Мне подойдет любой вариант, кроме пустых разговоров.

[В.О.]

В $H_3 $ возьмем два единичных вектора
$A = (A_1, A_2, A_3) = (1, \frac 1 2, 2)$
$B = (B_1, B_2, B_3) = (1, \frac 1 3, 3)$
$\left|A \right| = \left(A_1 A_2 A_3\right)^\frac 1 3 = 1$, $\left|B \right| = 1$
Угол между ними равен 0 по формуле (33), т.к. $A_1 = B_1$
$\phi (A, B) = 0$

Теперь повернем систему координат евклидовым образом вокруг оси Z на угол $\alpha = \frac \pi 4$.
Этому повороту соответствует преобразование евклидовых координат
$x' = \frac {x - y} {\sqrt2} $
$y' = \frac {x + y} {\sqrt2} $
$z' = z $
Векторы А и В в новой системе координат будут выглядеть так
$A' = (A'_1, A'_2, A'_3) = \left( \frac 1 {2\sqrt{2}}, \frac 3 {2\sqrt{2}}, 2 \right)$
$B' = \left( \frac 2 {3\sqrt{2}}, \frac 4 {3\sqrt{2}}, 3 \right)$

Теперь в новой системе координат введем пространство $H_3 $ точно так же, как это сделано в статье.
Длины векторов будут $\left|A' \right| = \left(A'_1 A'_2 A'_3\right)^\frac 1 3 = \left( \frac 3 4\right)^\frac 1 3$, $\left|B' \right| = \left( \frac 4 3\right)^\frac 1 3$.
$\frac {\left|B' \right|} {\left|A' \right|} = \left( \frac {16} 9\right)^\frac 1 3$
Подставляем все это в первую часть формулы (33).
$\phi^3 (A', B') = \ln \left(\frac 4 3 \left(\frac 9 {16}\right)^\frac 1 3\right) \ln \left(\frac 8 9 \left(\frac 9 {16}\right)^\frac 1 3\right) \ln \left(\frac 3 2 \left(\frac 9 {16}\right)^\frac 1 3\right) \neq 0$

-- Вс мар 20, 2011 14:02:01 --

Time, Вы столько наговорили лишнего...даже не знаю...Сдержанней надо как-то.

[Time]

Прежде всего прошу прощения за обострение разговора, просто, боюсь, что без этого Вы бы так никогда не проделали тех построений, что выложили постом выше.

Вот теперь можно и ошибки указать..
Первая из них на шаге:

В.О. в сообщении #425003 писал(а):

Теперь в новой системе координат введем пространство $H_3$ точно так же, как это сделано в статье.

Никакого нового пространства $H_3$ тут вводить нельзя. Пространство, вернее его метрика уже было у Вас задано в самом начале и Вы из него никуда не выходили, а просто перешли из первого базиса во второй.

Вторая ошибка в предположении, что в новом базисе выражение для длины вектора останется в точности то же, что и в исходном изотропном базисе. Это только в изотропном базисе, да в небольшом числе тех, что получаются из него преобразованиями из группы движений модуль вектора в $H_3$ сводится к корню кубическому из произведения трех компонент. А в произвольном базисе выражение для модуля имеет более сложный вид. В общем случае такой:
$\left|A\right|^3=g_{ijk}A_iA_jA_k}$,
где коэффициенты $g_{ijk}$ зависят от конкретного вида базиса в который переходят.

Ситуация тут примерно такая же, как в евклидовом пространстве. Это только в ортонормированных базисах квадрат длины связан с суммой квадратов компонент вектора, а при переходе в произвольный базис нужно пользоваться формулой общего вида:
$\left|A\right|^2=g_{ij}A_iA_j}$,
где коэффициенты $g_{ij}$ также зависят от конкретного базиса в который переходят. Так, если базис образует не ортогональная, а косоугольная тройка векторов - суммы квадратов для квадрата длины вектора уже не получится. Кроме квадратов компонент появляются и "смешанные" члены.

Использованный Вами как бы евклидов поворот при получении второго базиса для пространства $H_3$ примерно то же самое, что переход из ортонормированного базиса в косоугольный. При этом появляется куча новых членов в выражении для куба длины вектора.

Поэтому то у Вас и получилась глупость, что с переходом в новый базис, исходные векторы единичной длины, вдруг перестали быть таковыми. Неужели Вас самого это не насторожило?

Ну, и третья ошибка того же плана, что и вторая. Формула (33) для угла в пространстве $H_3$ так просто выглядит также только в изотропных базисах. Тот второй, в который Вы захотели перейти, таковым не является. Поэтому и пользоваться формулой (33), равно как и простой формулой для модуля вектора Вы не имели права. А воспользоваться нужно как и для куба длины формулой общего вида, включающей в себя коэффициенты $g_{ijk}$, представляющие собой финслеровы аналоги компонент метрического тензоpа.

Если б Вы сделали все правильно, то и длины векторов у Вас при переходе в новый базис остались единичными, и угол между ними исходным, то есть, в данном случае равным нулю.