Сферическая система координат на индикатрисе

[Руст]

Углы по сути не что иное как элементы алгебры Ли группы вращений. Соответственно их можно складывать как векторы. Однако для некоммутативных групп соответствующая сумма в алгебре Ли не соответствует произведению вращений, т.е. тут нет простой экспоненциальной формы. В книге Постникова "Алгебры Ли" приводится соответствующая экспоненциальная форма с бесконечным числом коммутаторов.
Что касается кватернионов, они то же не коммутативны. Однако там можно определить $Z_2+Z_2$ градуированный коммутатор соответствующий представлению кватернионов как алгебры Клиффорда. Относительно этой градуированной коммутации кватернионы становятся (я так называю) квазикоммутативной алгеброй. Тогда можно определить более простое экспоненциальное представление не связанное с бесконечным числом коммутаторов. Тут как в квазикоммутативной алгебре можно строить и дифференциальное исчисление. Только надо иметь в виду, что общее линейное отображение не $ax$ как в коммутативном случае, а $axb$, соответственно производная представляется парой кватернионов (a,b), вторая производная тройкой, соответствующей квадратичной форме $axbxc$ и т.д.

[Time]

В.О. в сообщении #422150 писал(а):

Давайте сначала Вы докажете это утверждение. Мы посмотрим. что подразумевается под "независимостью от выбора осей". А потом будем думать.

Инвариантность введенного в $H_3$ угла вытекает из инвариантности "длины" экстремали между парой точек на индикатрисе, соответствующих концам единичных векторов. А то, что угол мы вводим именно таким образом следует из принятого определения. Доказательством могут являться все построения упоминавшейся ранее статьи "Метрические бинглы и тринглы в $H_3$", начиная с раздела 4 и заканчивая разделом 6. Или Вы увидели ошибки в получении конкретного выражения для "длины" такой экстремали? Или сомневаетесь в инвариантности "длины" кривой?..

P.S. Возможно, Вы решили, что ВИД формул (32) и (33) для вычисления конкретной величины угла в $H_3$ не изменяется для любого базиса? Так это не так. Столь просто и лаконично они выглядят в по сути единственном базисе, состоящем из тройки канонических изотропных векторов. В любом другом базисе формулы будут выглядеть много корявее и сложнее, однако результат их применения окажется тем же..

-- Сб мар 12, 2011 19:48:17 --

Руст в сообщении #422164 писал(а):

Тогда можно определить более простое экспоненциальное представление не связанное с бесконечным числом коммутаторов.

На сколько я понимаю, сказанное не отменяет того факта, что для кватернионов не существует экспоненциальной формы представления с тремя аргументами, которые при перемножении двух чисел складываются.. То, что вращения общего вида в пространстве кватернионов представляются произведениями вращаемого вектора $x$ на два нормированных кватерниона слева и справа - общеизвестно.

[AKM]

evgeniy в сообщении #422094 писал(а):

Если Shvedka

evgeniy,

искажение ников участников Правилами форума не допускается.
Данное формальное правило есть, по сути, некий элемент культуры форумного общения.

Активизируйте в своём профиле окно быстрого ответа, если оно не активно. Кликнув на ник участника в левой части его сообщения, Вы получите вежливую копию ника в окне быстрого ответа.

[В.О.]

Time в сообщении #422166 писал(а):

Инвариантность введенного в угла вытекает из инвариантности "длины" экстремали между парой точек на индикатрисе, соответствующих концам единичных векторов. А то, что угол мы вводим именно таким образом следует из принятого определения. Доказательством могут являться все построения упоминавшейся ранее статьи "Метрические бинглы и тринглы в ", начиная с раздела 4 и заканчивая разделом 6.

Извините, но это не доказательство. Вы даже не указываете об инвариантности относительно чего идет речь. А это самое интересное.
Насколько можно понять, изометриями в Н3 является только группа D2 (но это тоже не доказано). Но D2 оставляет орты неподвижными. см. стр.47.
Теперь опять вернемся к паре векторов. Если они далеки от координатных плоскостей, то угол между ними небольшой. При поворотах из D2 этот угол сохраняется. Но орты пространства под действием D2 не меняются (если только растягиваются). Опять получается мой тезис, что угол между двумя векторами является характеристикой не только этих двух векторов, но и системы ортов.

Знаете, не нужно пока ничего отвечать на последние три строчки. Вы делаете слишком много недоказанных утверждений. Возможно, они основаны на Вашей интуиции. Но в математике принято еще и доказывать. Я понимаю, что сейчас Вам, возможно не до этого доказательства. Но Вы хотя бы точно сформулируйте утверждение, а кто-то, может быть, попробует его доказать или опровергнуть.

Вот еще одно Ваше утверждение и тоже не доказанное.

Time в сообщении #422003 писал(а):

В трехмерном пространстве с метрической функцией Бервальда-Моора нет таких преобразований среди группы его движений, что были бы похожи на евклидовы повороты.

В Н2 у меня опыта нет, Вы правы. Но я просил ссылку на двойные числа, а Вы дали на тройные.

[Time]

В.О. в сообщении #422359 писал(а):

Вы даже не указываете об инвариантности относительно чего идет речь.

Вот те раз.. Мы же только и обсуждали, что переходы от одного базиса к другому. Пока можете считать, что относительно этого..

В.О. в сообщении #422359 писал(а):

Насколько можно понять, изометриями в Н3 является только группа D2 (но это тоже не доказано).

Это же далеко не первая работа нашей (и других исследователей) группы по тройным числам. Нельзя же в каждой работе доказывать одно и то же, что и в предыдущих.

В.О. в сообщении #422359 писал(а):

Но D2 оставляет орты неподвижными. см. стр.47.

Изотропные вектора используемой выделенной системы координат в $H_3$, строго говоря, нельзя обзывать ортами. Во первых, длина этих векторов в смысле метрики $H_3$ равна нулю (на то они и изотропные), а во-вторых, их нелзя называть ортогональными друг другу. Причем даже в финслеровм смысле обобщения понятия ортогональности. Лучше называть их просто канонической изотропной системой координат.
Да, группа движений $H_3$ (а также группа конформных преобразований этого пространства) переводит изотропный конус в себя и только растягивает вектора совпадающие с ребрами этого изотропного конуса. Впрочем, в смысле используемой финслеровой метрики это растяжение кажущееся. Во-первых, как можно растянуть вектора нулевой длины? А во-вторых, это же преобразования из группы движений, которые не меняют расстояний в данной метрике. Вы просто мыслите евклидовыми понятиями, отсюда и все проблемы..

В.О. в сообщении #422359 писал(а):

Теперь опять вернемся к паре векторов. Если они далеки от координатных плоскостей, то угол между ними небольшой. При поворотах из D2 этот угол сохраняется. Но орты пространства под действием D2 не меняются (если только растягиваются). Опять получается мой тезис, что угол между двумя векторами является характеристикой не только этих двух векторов, но и системы ортов.

Наконец, хоть с тем, что угол между парой векторов при преобразованиях из группы вращений $H_3$ не меняется и является инвариантом при таких преобразованиях Вы согласились. Правда, согласившись, снова сделали ложное утверждение. Вы бы уж выбрали что-то одно..

В.О. в сообщении #422359 писал(а):

В Н2 у меня опыта нет, Вы правы. Но я просил ссылку на двойные числа, а Вы дали на тройные.

Даже тут Вы умудряетесь сделать ложное утверждение. Посмотрите внимательнее третий пост на первой странице. Вторая ссылка в нем именно по поводу двойных чисел. Более подробный разбор свойств пространства $H_2$ Вы вряд ли еще где найдете. Хотя литературы по двойным числам, при желании, можно найти легко и много.

[В.О.]

Time в сообщении #422384 писал(а):

Мы же только и обсуждали, что переходы от одного базиса к другому

Любые переходы?

[Time]

В любом базисе (состоящем хоть из изотропных, хоть из неизотропных, хоть из смешанных векторов) угол между парой неизотропных векторов в пространстве $H_3$ будет иметь одну и ту же величину.
Не понимаю, что Вас тут удивляет. Тоже самое реализуется для гиперболических углов в псевдоевклидовых пространствах. Тут также имеются изотропные вектора, а гиперболические повороты обладают примерно такими же свойствами, что и повороты в $H_n$. Ну, разве что, экстремали в псевдоевклидовых пространствах оказываются плоскими кривыми, тогда как в $H_n$ - нет, а метрическая функция связана с квадратами компонент вектора, тогда как в $H_n$ - с n-ными степенями.

[В.О.]

Time в сообщении #422606 писал(а):

В любом базисе ... угол между парой неизотропных векторов в пространстве будет иметь одну и ту же величину.

Уважаемый Time, я уже приводил пример, что угол может различаться в разных базисах. А именно, если один базис получить из другого путем евклидова вращения на специально подобранный угол. Т.е. процитированное высказывание неверно. Вы забраковали такой способ получения одного базиса из другого. Может быть, Вы и правы. Но тогда нужно указать, какие способы получения одного базиса из другого Вы допускаете. Именно в этом и заключался предыдущий вопрос. Но Вы на него не ответили. Вы ответили на некий другой вопрос.
Извините за мою надоедливость, но позвольте повторить вопрос.
Какие переходы от базиса к базису Вы допускаете?

[Time]

В.О. в сообщении #422630 писал(а):

Уважаемый Time, я уже приводил пример, что угол может различаться в разных базисах.

Вы привели не доказательство, а кажущееся Вам веским некое описание. Покажите тоже самое, но в числах, подставив в формулу (32) или , (33) новые компоненты векторов, между которыми вычисляется угол, во втором базисе (при этом совершенно не важно откуда Вы его взяли). Ведь с переходом в другой базис формальный вид выражений (32) и (33) меняется. Особенно это относится к случаю, когда от изотропного базиса осуществляется переход к неизотропному, между которыми нет и не может быть связи в рамках группы движений. Вы путаете ситуацию с переходами между ортонормированными базисами евклидовых пространств. Только в таких частных случаях формальные выражения для норм и углов остаются без изменений.

В.О. в сообщении #422630 писал(а):

А именно, если один базис получить из другого путем евклидова вращения на специально подобранный угол. Т.е. процитированное высказывание неверно. Вы забраковали такой способ получения одного базиса из другого. Может быть, Вы и правы. Но тогда нужно указать, какие способы получения одного базиса из другого Вы допускаете.

Если бы формулы для угла были приведены для финслерова аналога ортонормированного базиса и мы бы от него перешли к другому такому же при помощи преобразования из группы движений, то формально вид формулы для угла не поменялся бы. Только тогда Ваши рассуждения были бы хотя бы отчасти оправданны. Переходы между базисами могут быть любые, в том числе и такие, что не связаны между собой движениями рассматриваемого пространства. В частности от изотропных векторов к неизотропным и обратно. Это никак не влияет на неизменность длин векторов и углов между ними, просто если переходы между базисами связаны группой движений, а не произвольны, при таком переходе не меняется еще и вид конкретных выражений для получения численных значений этих величин.
Что касается Вашего вопроса: "Какие способы получения одного базиса из другого допускаются", -то, имея ввиду его неявный контекст в виде применимости "старой" формулы для вычислений, ответом на него является все то же - преобразования должны быть из группы движений. Применительно к базису, в котором формулы для угла имеют вид (32) или (33) это означает, что в аффинном представлении базисные вектора могут только растягиваться и сжиматься, причем не произвольно, а именно так, как предписывает устройство группы вращений в $H_3$. Однако ни что не мешает перейти и к любому другому базису, только при этом нужно потратить некое количество усилий, что бы получить новый вид формулы для вычисления угла. Для этого можно воспользоваться и старой фомулой, подставив в нее компоненты двух векторов в новом базисе.
Удалось найти ссылку на журнал с информацией по двойным числам?

[В.О.]

Time в сообщении #422721 писал(а):

Вы привели не доказательство, а кажущееся Вам веским некое описание. Покажите тоже самое, но в числах, подставив в формулу (32) или , (33) новые компоненты векторов, между которыми вычисляется угол,

Уважаемый Time, я привел абсолютно строгое по всем математическим канонам доказательство. Если одно число фиксировано, а второе можно выбрать сколь угодно большим, то оно может быть выбрано отличным от первого. В числах ничего показывать не нужно.
А пока я только могу в третий раз повторить вопрос:
Какие переходы от базиса к базису Вы допускаете?

Два ответа на этот вопрос, которые мне удалось почерпнуть из Вашего сообщения

Time в сообщении #422721 писал(а):

Переходы между базисами могут быть любые,

и

Time в сообщении #422721 писал(а):

преобразования должны быть из группы движений

не совместимы в моей картине мироздания.
Ответ желательно получить одной фразой.

[Time]

В.О. в сообщении #422734 писал(а):

Ответ желательно получить одной фразой.

Выполняю Вашу просьбу..

Переходы между базисами могут быть любыми.

А теперь пояснения.. Вы не видите разницы между переходами от базиса к базису и преобразованиями пространства. Это разные понятия и последствия у них тоже разные. От переходов между базисами углы между векторами не меняются. А от преобразований пространства, могут не только углы поменяться, но и пространство перестать быть векторным. Углы сохраняются только при преобразованиях из группы движений, а если их рассматривать между касательными векторами, то еще и при конформных преобразованиях.

В.О. в сообщении #422734 писал(а):

Уважаемый Time, я привел абсолютно строгое по всем математическим канонам доказательство.

Это уже грустно. Попробуйте все же взять и на конкретном примере показать для каких двух векторов угол между ними поменяется при переходе в некий новый конкретный базис. Если не покажете, диалог заканчиваю ввиду бесполезности.

[В.О.]

Time в сообщении #423377 писал(а):

Вы не видите разницы

У меня есть предложение. Давайте обсуждать конкретный вопрос о сохранении углов, а не то, что я вижу или не вижу.

Time в сообщении #423377 писал(а):

Это уже грустно.

В подобной ситуации принято не грустить, а просто указать ошибку, если она имеется. Вы ее можете указать?

Time в сообщении #423377 писал(а):

Углы сохраняются только при преобразованиях из группы движений

Смотрите, из этого Вашего утверждения сразу следует, что при евклидовом повороте, которое движением в Н3 не является, углы не сохраняются. Так зачем же Вы от меня требуете, чтобы я показал это не сохранение на числовом примере? Для этого нужно потратить достаточно много времени только для набора формул.

А теперь постарайтесь понять мою логику.
Вы не указываете ошибку в моих рассуждениях, а лишь выражаете элегическую грусть.
Вы делаете утверждение, из которого сразу следует моя правота.
Вы требуете, чтобы я проделал достаточно трудоемкие вычисления, не понятно ради чего.
Да я проделаю, если уж очень надо. Только скажите, ради бога, какой вывод вы сделаете из них?

[Time]

В.О. в сообщении #423725 писал(а):

В подобной ситуации принято не грустить, а просто указать ошибку, если она имеется. Вы ее можете указать?

Конечно. Вместо абстрактных рассуждений о маленьких и больших углах на фоне евклидовых поворотов, нужно перейти к конкретным вычислениям угла между парой фиксированных векторов в двух различных базисах.

В.О. в сообщении #423725 писал(а):

Смотрите, из этого Вашего утверждения сразу следует, что при евклидовом повороте, которое движением в Н3 не является, углы не сохраняются. Так зачем же Вы от меня требуете, чтобы я показал это не сохранение на числовом примере? Для этого нужно потратить достаточно много времени только для набора формул.

Во-первых, формул не так уж и много. Во-вторых, если Вы сами этого не проделаете, финслеровы пространства так и останутся для Вас бесполезной абстракцией. В-третьих, в случае, если Вы собственноручно убедитесь, что углы в $H_3$ ничем принципиальным не отличаются от своих гиперболических аналогов в трехмерном псевдоевклидовом пространстве, у Вас появится шанс начать понимать, что такое трингл, и каковы его фундаментальные свойства, а эта штуковина того стОит. Она хитрее углов устроена. Тем более, что трингл является естественным расширением ряда понятий: длина, угол... А на двух последних покоится все здание современной геометрии.. Какое же тогда может стоять на трех или четырех подобных понятиях?

В.О. в сообщении #423725 писал(а):

Вы не указываете ошибку в моих рассуждениях, а лишь выражаете элегическую грусть.

Ваши рассуждения носят абстрактно-качественный характер и, кроме того, основаны на евклидовой интуиции, которую при работе с финслеровыми пространствами лучше забыть.

В.О. в сообщении #423725 писал(а):

Вы делаете утверждение, из которого сразу следует моя правота.

Попробуйте хотя бы предположить, что Вы просто не понимаете моего утверждения и банально рассмотрите конкретный пример.

В.О. в сообщении #423725 писал(а):

Вы требуете, чтобы я проделал достаточно трудоемкие вычисления, не понятно ради чего.

Вычисления короткие и элементарные, нужно их просто проделать своими руками.

В.О. в сообщении #423725 писал(а):

Да я проделаю, если уж очень надо. Только скажите, ради бога, какой вывод вы сделаете из них?

Замечательно, если не обманите.
Давайте Вы сначала их проделаете, а потом станем говорить о выводах..

[STilda]

Давайте рассмотрим $H_2$, псевдоевклидову плоскость. Далее представим просто нарисованный треугольник с отмеченным углом. Именно имеем рисунок.
1. Если меня попросят посчитать величину выделенного угла в евклидовом пространстве, я знаю как это сделать. Прикладываю В ЛЮБОМ МЕСТЕ обычную прямоугольную декартовую систему координат, замеряю в ней координаты вершин, считаю угол через скалярное произведение.
2. Если меня поросят вычислить величину угла в псевдоэвклидовом пространстве, то у меня возникнет вопрос. Куда прикладывать те же оси? Если я оси буду перемещать, евклидово поворачивать, то мой результат будет менятся. Вы с этим согласились, если я не ошибся. Так как же вычислить псевдоэвклидовый угол для нарисованного треугольника?

[Time]

STilda в сообщении #423885 писал(а):

2. Если меня поросят вычислить величину угла в псевдоэвклидовом пространстве, то у меня возникнет вопрос. Куда прикладывать те же оси? Если я оси буду перемещать, евклидово поворачивать, то мой результат будет менятся. Вы с этим согласились, если я не ошибся. Так как же вычислить псевдоэвклидовый угол для нарисованного треугольника?

Псевдоевклидова плоскость, хоть и родственница пространству $H_3$, но, слава богу, в отличии от финслеровых пространств, разобрана вдоль и поперек в сотнях учебников.
Посмотрите любой из них и обратите внимание на то, как в аффинном представлении выглядит псевдоевклидов поворот, а также преобразования ортогональной системы координат. Вычисление углов между векторами на псевдоевклидовой плоскости уже лет сто пятьдесят не представляет никакой загадки, разве что, лень смотреть учебники или отход от евклидовых представлений составляет проблему. Во втором случае ничем помочь невозможно..