Рекуррентное соотношение

[resevus]

Найти решение рекуррентного соотношения:
$a_{n+1}=a^2_{n}-2,$ $n>0,$ $a_{1}=3$

(Оффтоп)

Пока обнаружил такое $a_{n+1}-a_{n}=(a_{n}-a_{n-1})(a_{n}+a_{n-1})$. И дальше можно разницу расписывать. Но не вижу, как это может помочь

[Sonic86]

Вот если $a_1=4$, то мы имеем специальную последовательность чисел, с помощью которой проверяют, является ли число Мерсенна простым или нет. Для них не было явной формулы. Про ту последовательность есть немного в Тросте Простые числа и в Кнуте Искусство программирования, том 2 вроде есть. Да, точно есть, стр. 449

-- Чт мар 17, 2011 22:38:01 --

Вам точно именно формулу нужно, или что-то другое. Если другое, то может какой-то шанс есть...

[myra_panama]

resevus в сообщении #423977 писал(а):

Найти решение рекуррентного соотношения:
$a_{n+1}=a^2_{n}-2,$ $n>0,$ $a_{1}=3$

я в одном учебнике выдел такое условия задаче :
Найти предел $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_1\cdot a_2\cdots a_n}$
если дано $a_{n+1}={a_n}^2-2 , a_1=3$
если так , то можно найти предел очень просто...

[ИСН]

ога, конечно, не было...
post354999.html

[svv]

A001566

[Leox]

myra_panama в сообщении #423985 писал(а):

resevus в сообщении #423977 писал(а):

Найти решение рекуррентного соотношения:
$a_{n+1}=a^2_{n}-2,$ $n>0,$ $a_{1}=3$

я в одном учебнике выдел такое условия задаче :
Найти предел $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_1\cdot a_2\cdots a_n}$
если дано $a_{n+1}={a_n}^2-2 , a_1=3$
если так , то можно найти предел очень просто...

А как именно можно найти етот предел? Он равен $\sqrt{5}$ но меня интересует сама техника вычислений.

[ИСН]

Какую Вам ещё технику, если уже привели явную формулу для членов последовательности?

[Leox]

Как знание явной формулы, может помочь вычислить тот предел?

[myra_panama]

Leox в сообщении #424020 писал(а):

Как знание явной формулы, может помочь вычислить тот предел?

ну ладно...
сделаем так:
$a_{n+1}^2=({a_n}^2-2)^2$ отсюда,
$a_{n+1}^2-4=(a_n^2-2)^2-4=a_n^2(a_n^2-4)$
сделаем замену n на n-1
${a_{n}}^2-4=a_{n-1}^2(a_{n-1}^2-4)$
отсюда , получаем
$a_{n+1}^2-4=a_n^2 \cdot a_{n-1}^2\cdot (a_{n-1}^2-4)$
следовательно,
$a_{n+1}^2-4=a_n^2\cdot a_{n-1}^2\cdots a_1^2\cdot (a_1^2-4)$
итак , окончательно
$(\frac{a_{n+1}}{a_1 \cdot a_2 \cdots a_n})^2=5+(\frac2{a_1 \cdot a_2 \cdots a_n}})^2$
при $n\to\infty$ получаем ответ , $\sqrt5$

[Leox]

Красиво, спасибо. А как здесь учитывается начальное условие $a_1=3?.$
Кстати, не вижу как знание явной формулы - $a_n=2 T_{2^{n-1}}(3/2)$ через многочлены Чебышева может помомочь найти етот предел.

[ИСН]

Начальное условие учитывается "а вот так". Подумайте, что было бы при другом значении.
Явную формулу я другую имел в виду (тут много уже накидали), ту, которая в OEIS:

   COMMENTS    a(n)=Fibonacci(2^[n+2])/Fibonacci(2^[n+1])

[Leox]

тормознул с начальным условием.