кратчайший путь

[MathKvant]

В усеченном конусе угол между осью и образующей равен 30. Докажите, что кратчайший путь по поверхности конуса, соединяющий точку границы одного основания с диаметрально противоположной точной границы другого основания, имеет длину 2R, где R-радиус большего основания.

[Dimoniada]

У меня получилось, что если $r$ - радиус меньшего основания и $\frac {\pi(R-r)} {2R-r} \leqslant arccos(\frac r {R})$, то $l = 2\sqrt{(R+r)^2-4Rr\cdot cos^2(\frac {\pi(R-r)} {2R-r})}$ Ответ зависит от меньшего основания.

[Руст]

Только ответ мне кажется не правильный. Развертка конуса будет полукруг радиуса $2R$ из которого из центра вынут полукруг радиуса $2r$. Соответственно минимальное расстояние будет по пути по малому кругу по дуге $\alpha= \arcsin\frac rR$ и по прямой длиной $2\sqrt{R^2-r^2$. Соответственно вся длина кратчайшего пути $2r\arcsin\frac{r}{R}+2\sqrt{R^2-r^2$.

[ewert]

Только ответ мне кажется не правильный. В пределе $r\to R$ должно получаться $2\pi R$, а в пределе $r\to0$ будет $2R+\pi r$ (в первом порядке по $r$). Соответственно вся длина кратчайшего пути -- вроде как $2\sqrt{R^2-r^2}+2r(\pi-\arccos\frac{r}{R})$.

[Руст]

ewert в сообщении #425024 писал(а):

Только ответ мне кажется не правильный. В пределе $r\to R$ должно получаться $2\pi R$, а в пределе $r\to0$ будет $2R+\pi r$ (в первом порядке по $r$). Соответственно вся длина кратчайшего пути -- вроде как $2\sqrt{R^2-r^2}+2r(\pi-\arccos\frac{r}{R})$.

При $r\to 0$ ваш ответ дает $2R+r\pi+O(r^2)$, а мой $2R+\frac{r^2}{R}+O(r^3)$.
Думаю ваша ошибка в том, что по дуге радиуса $2r$ надо двигаться на
$\arcsin \frac rR=\frac{\pi}{2}-\arccos \frac rR\not =\pi -\arccos\frac rR$. Дело в том что угол $\frac{\pi}{2}$ на увеличенном полукруге радиуса $2r$ соответствует углу $\pi$ на малом основании.

[Dimoniada]

Да.. мне казалось, что конус в какой-то сектор развернётся, а не в полукруг.

(Оффтоп)

Оттуда и условие взялось (с опечаткой). Должно было бы быть $\frac {2\pi(R-r)} {2R-r} \leqslant arccos(\frac r {R})$(что бы прямая не залазила в верхнее донышко) и $l = \sqrt{\frac {(2R-r)^2(R+r)^2} {(R-r)^2} - \frac {4Rr\cdot (2R-r)^2} {(R-r)^2} cos^2(\frac {\pi(R-r)} {2R-r})}$

[ewert]

Руст в сообщении #425046 писал(а):

При $r\to 0$ ваш ответ дает $2R+r\pi+O(r^2)$, а мой $2R+\frac{r^2}{R}+O(r^3)$.

Совершенно верно. Но ведь совершенно же и очевидно, что главная поправка должна иметь именно первый порядок малости, а не второй: это -- длина чуть более половины очень маленького полукруга.

[Руст]

ewert в сообщении #425131 писал(а):

Совершенно верно. Но ведь совершенно же и очевидно, что главная поправка должна иметь именно первый порядок, а не второй: это -- длина примерно четверти очень маленького полукруга.

Почему четверти (это то что вы добавили $\pi r$ к ответу). Когда $r\to 0$ мы движемся прямо к вершине почти не отклоняясь. Касательная к малому полукругу будет почти $2r$ и остается двигаться вдоль малого круга угол порядка $\frac rR$ учитывая радиус $r$ это даст $2R+\frac{r^2}{R}+O(\frac{r^3}{R^2})$. Никаких линейных членов.

Да, советую посмотреть на книжку Арнольда "Математическое понимание природы", там вначале как раз обсуждаются такого рода причуды, когда малое отклонение порядка $r$ отзывается квадратичным отклонением в результате.

[ewert]

Руст в сообщении #425136 писал(а):

Почему четверти

Да не четверти, а половины (я заранее исправил). А почему -- тривиально. Длина касательной, как Вы метко заметили, отличается от удвоенного радиуса большого основания на величину второго порядка малости. Но ведь четверть маленькой окружности (т.е. половинку маленького основания) нам пройти всяко придётся, а это -- порядок уже первый.

Чего-то я не понимаю, об чём спор.

[Руст]

ewert в сообщении #425245 писал(а):

. Но ведь четверть маленькой окружности (т.е. половинку маленького основания) нам пройти всяко придётся, а это -- порядок уже первый.

Чего-то я не понимаю, об чём спор.

И я не понимаю, чего тут не понятного. К сожалению я не умею рисовать.
Берите полукруг радиуса $2R$ он при закручивании даст конус с углом 30 градусов и радиусом большого основания $R$. Пусть это будет верхний полукруг.
Из центра $O$ с координатами $(0,0)$ вынимаем полукруг радиуса $2r$. Пусть наша точка $A=(-2R,0)$ на разрезе (угловая точка) полукруга радиуса $2R$ с координатами . Тогда противоположные точки находятся на прямой $(0,t)$. Точка с которой надо соединить эта $B=(0,2r).$ Непосредственно прямую $AB$ мы не можем провести, слегка отсечем полукруг радиуса $2r$, т.е. выйдем за усеченный конус. Поэтому расстояние всегда чуть больше расстояния по прямой $2\sqrt{R^2+r^2$. Кратчайшее расстояние получится, если проведем касательную из точки А к полукругу радиуса $2r$ и оставшийся путь до точки $B$ пройдем по полукругу. Это даст $l=2\sqrt{R^2-r^2}+2r\arcsin\frac rR$.

[TOTAL]

Руст в сообщении #425255 писал(а):

Из центра $O$ с координатами $(0,0)$ вынимаем полукруг радиуса $2r$.

А если не вынимаем, то сначала идём строго вверх до верхнего основания, затем по верхнему основанию идём до диаметрально противоположной точки. Таким способом расстояние будет равно $2R.$

[Руст]

TOTAL в сообщении #425615 писал(а):

Руст в сообщении #425255 писал(а):

Из центра $O$ с координатами $(0,0)$ вынимаем полукруг радиуса $2r$.

А если не вынимаем, то сначала идём строго вверх до верхнего основания, затем по верхнему основанию идём до диаметрально противоположной точки. Таким способом расстояние будет равно $2R.$

Если не вынимаем то не получится развертка усеченного конуса.
Рассмотрите предельный случай $r\to R$. В этом случае точно придется пройти путь по окружности $\pi R>2R.$
Кстати это относится и к ewert у. У него получилось бы $2\pi R$.

[TOTAL]

Руст в сообщении #425623 писал(а):

TOTAL в сообщении #425615 писал(а):

Руст в сообщении #425255 писал(а):

Из центра $O$ с координатами $(0,0)$ вынимаем полукруг радиуса $2r$.

А если не вынимаем, то сначала идём строго вверх до верхнего основания, затем по верхнему основанию идём до диаметрально противоположной точки. Таким способом расстояние будет равно $2R.$

Если не вынимаем то не получится развертка усеченного конуса.

В развёртке усеченного конуса есть ещё верхнее основание, которое тоже можно использовать для "кратчайшей $2R$ ходьбы"

[Руст]

TOTAL в сообщении #425625 писал(а):

В развёртке усеченного конуса есть ещё верхнее основание, которое тоже можно использовать для "кратчайшей $2R$ ходьбы"

В условии сказано по поверхности конуса. Даже если немного проехать по крыше, то все равно расстояние будет по прямой между точками $A=(-2R,0)$ и $B=(0,2r)$, т.е. $l=2\sqrt{R^2+r^2}$.

[TOTAL]

Руст в сообщении #425629 писал(а):

TOTAL в сообщении #425625 писал(а):

В развёртке усеченного конуса есть ещё верхнее основание, которое тоже можно использовать для "кратчайшей $2R$ ходьбы"

В условии сказано по поверхности конуса. Даже если немного проехать по крыше, то все равно расстояние будет по прямой между точками $A=(-2R,0)$ и $B=(0,2r)$, т.е. $l=2\sqrt{R^2+r^2}$.

Сначала по боковой поверхности из $(-R, 0, 0)$ в $(-r, 0, R\sqrt{3}-r\sqrt{3}),$
затем по диаметру верхнего основания из $(-r, 0, R\sqrt{3}-r\sqrt{3})$ в $(r, 0, R\sqrt{3}-r\sqrt{3})$