Параллелепипеды

[RIP]

Задачка, наверняка, известна многим, но вдруг кто не знает.
Можно ли внутри одного параллелепипеда расположить другой параллелепипед с бОльшим периметром (периметр - сумма длин всех рёбер)?

[ИСН]

Слышал в варианте с тетраэдрами. Там-то просто.

[Genrih]

В $\mathbb{R}^3$ все, надо пологать ?

[Руст]

Это верно в любой размерности. Суть его ясно из двумерного случая. Фактический общий случай можно привести к двумерному на каждом шаге индукции.

[Lion]

ИСН писал(а):

Слышал в варианте с тетраэдрами. Там-то просто.

С тетраэдром связаны следующие две интересные задачи:
1. Если тетраэдр $A_1B_1C_1D_1$ расположен внутри тетраэдра $ABCD$, то выполнено неравенство $\frac{4}{3}P_{ABCD} > P_{A_1B_1C_1D_1}$.
2. Площадь любого сечения тетраэдра плоскостью не превосходит площади хотя бы одной его грани.

[незваный гость]

Руст писал(а):

Это верно в любой размерности. Суть его ясно из двумерного случая. Фактический общий случай можно привести к двумерному на каждом шаге индукции.

Вы не могли бы продемонстрировать. Например, переход от двум к трем? А то мне как-то малопонятно: для тетраэтдров можно, для паралелеипедов нельзя.

[Руст]

Я уже забыл эту идею. Поэтому приведу решение сразу общего случая. Пусть А ортогональная матрица приводящая орты вписанного параллелипеда в орты описанного. Условие вписанности параллепепида записывается в виде:
$\sum_j |a_{i,j}|x_j\le y_i$, где $x_j,y_i$ стороны вписанного и описанного параллелипедов. Из этих неравенств легко получается неравенство относительно периметров:
$\sum_i y_i\ge \sum_j x_j\sum_i |a_{i,j}|\ge \sum_j x_j $,
так как $\sum_i |a_{i,j}|\ge \sum_ia_{i,j}^2 =1$.

[незваный гость]

Руст писал(а):

Пусть А ортогональная матрица приводящая орты вписанного параллелипеда в орты описанного.

Если я правильно Вас понял, то орты, единичные вектора, направленные вдоль сторон. Тогда почему матрица ортогональна?

[Руст]

Я под параллелипедом понимал прямоугольный параллелипед. В принципе это с небольшими уточнениями получается и для произвольных параллелипедов.

[незваный гость]

А как для произвольных?

[незваный гость]

Скажу как умею. Понимаю, что очень многие детали моего построения можно отбросить, но это не важно.

1) наблюдение: периметр параллелепипеда равен учетверенной сумме длин ребер, исходящих из одной вершины.

2) Рассмотрим треуголник ${\scriptstyle \triangle}ABC$ Выберем внутри его точки $D$ и $E$ такие, что $|AD| < |AE|$. Теперь поднимем $D$ над плоскостью $ABC$ ($D'$ ортогонально проецируется в $D$) так, что $|AD'| = |AE|$. А теперь чуть-чуть приподнимем $E$ ($E'$).

3) Теперь натянем наши паралелепипеды на $AB, AC, AD'$ и $AB, AC, AE'$. $\square$

Мне кажется, это построение легко обобщается на любое количество измерений.

Lion писал(а):

Если тетраэдр $A_1B_1C_1D_1$ расположен внутри тетраэдра $ABCD$, то выполнено неравенство $\frac{4}{3}P_{ABCD} > P_{A_1B_1C_1D_1}$.

Думаю, что есть аналогичное неравенство и для параллелепипедов. Только вот какой коэффициент? И, кстати, как этот коэффициент зависит от размерности (и для симплекса, и для параллелепипеда)? Является ли коэффициент точным?

Встречал ли кто-нибудь эти задачи в литературе (про тетраэдр нам рассказывали на уроке)?

[RIP]

незваный гость писал(а):

:evil:
Скажу как умею. Понимаю, что очень многие детали моего построения можно отбросить, но это не важно.

1) наблюдение: периметр параллелепипеда равен учетверенной сумме длин ребер, исходящих из одной вершины.

2) Рассмотрим треуголник ${\scriptstyle \triangle}ABC$ Выберем внутри его точки $D$ и $E$ такие, что $|AD| < |AE|$. Теперь поднимем $D$ над плоскостью $ABC$ ($D'$ ортогонально проецируется в $D$) так, что $|AD'| = |AE|$. А теперь чуть-чуть приподнимем $E$ ($E'$).

3) Теперь натянем наши паралелепипеды на $AB, AC, AD'$ и $AB, AC, AE'$. $\square$

Мне кажется, это построение легко обобщается на любое количество измерений.

Это пример, когда периметр внутреннего бОльше(тогда он неправильный)? Я думал, что знаю док-во невозможности этого

[незваный гость]

Периметр внутреннего больше. Это верно и для тетраэдра (схема доказательства аналогична, только рассматриваются расстояния до всех вершин треугольника.)

[RIP]

Параллелепипеды не будут вложены один в другой(кроме случая, когда лучи $AD$ и $AE$ совпадают.)

[незваный гость]

Будут, будут. После того, как мы подняли $D$, мы можем натянуть параллелепипед на $AB, AC, AD'$. Если теперь пустить из $E$ луч вверх, то очевидно, что какое-то количество точек луча будет лежать внутри параллелепипеда. Вот из них то и выберем $E'$.