Неравенство

[Sasha2]

arqady в сообщении #422980 писал(а):

Следующее неравенство (при тех же ограничениях) тоже верно.

$$\frac{x^3}{x^2+y^2}+\frac{y^3}{y^2+z^2}+\frac{z^3}{z^2+x^2} \ge \frac12$$

Доказать помогает такая оценка $\frac{x^3}{x^2+y^2} \ge x-\frac{y}{2}$. Для двух других слагаемых аналогично.
Одним словом, хороший пример на AM-GM Reverse Techique

[arqady]

MrDindows в сообщении #423091 писал(а):

Вот только интересно, эти неравенства: Гёльдера и Чебышева можно применять на олимпиаде без доказательства их самих?)

Да, можно.

[Sasha2]

Интересно, а если какой-нибудь аналог неравенства Гельдера, когда длина кортежей разная, то есть есть ли в природе что-то вроде такого неравенства:

$$(a_1+a_2+...+a_n)^k(b_1+b_2+...+b_p)^l(c_1+c_2+...+c_q)^m\ge ?$$

Конечно, тривиальное дополнение нулями неинтересно.

[arqady]

MrDindows в сообщении #422926 писал(а):

Для положительных чисел $x,y,z$ таких, что $xy+xz+yz = 1,$ доказать неравенство

$$\frac{x^3}{1+9y^2xz}+\frac{y^3}{1+9z^2yx} + \frac{z^3}{1+9x^2yz} \ge \frac{(x+y+z)^3}{18}.$$

Следующее неравенство тоже верно.
Для положительных $x,y,z$ таких, что $xy+xz+yz = 1,$ докажите, что

$$\frac{x^3}{1-5y^2xz}+\frac{y^3}{1-5z^2yx} + \frac{z^3}{1-5x^2yz} \ge \frac{(x+y+z)^3}{4}$$

где знаменатели дробей положительны.

[Sasha2]

Интересно сперва убедиться в том, что условие $xy+yz+zx=1$ не приводит к тому, что например $1-5y^2xz$ становится равным нулю. Аналогичное замечание и для других слагаемых.

[arqady]

Исправил. Спасибо!

[MrDindows]

Подтолкните хоть чуть-чуть к доказательству)

[arqady]

MrDindows, их может быть много. В моём же доказательстве я воспользовался неравенством Коши-Шварца.

[Sasha2]

А мне вообще-то не совсем понятно, почему одна из данных дробей не может быть сделана бесконечно большой и отрицательной по знаку.

[MrDindows]

arqady, Такое доказывали?
$(x+y+z)(\frac{1}{xyz}-5(y^2z+z^2x+x^2y)) \le 4$

Sasha2, в условии написано что не может, значит не может=)

[Sasha2]

Нет, в условии этого не написано.
Я думаю, что можно подобрать числа так, чтобы и $xy+yx+zx=1$ и ни один из знаменателей не будет равен нулю, но вот одно из слагаемых может быть бесконечно большим и отрицательным.

И мне еще также кажется, что вот в такой форме применение неравенства Коши-Шварца необоснованно, поскольку применять его можно только в том случае, когда знаменатели данных дробей полодительны, а это вовсе не следует из указанных ограничений.

[arqady]

MrDindows в сообщении #423411 писал(а):

arqady, Такое доказывали?
$(x+y+z)(\frac{1}{xyz}-5(y^2z+z^2x+x^2y)) \le 4$

Нет и оно неверно: $x\rightarrow0^+$.

[MrDindows]

Sasha2 в сообщении #423416 писал(а):

Нет, в условии этого не написано.
Я думаю, что можно подобрать числа так, чтобы и $xy+yx+zx=1$ и ни один из знаменателей не будет равен нулю, но вот одно из слагаемых может быть бесконечно большим и отрицательным.

И мне еще также кажется, что вот в такой форме применение неравенства Коши-Шварца необоснованно, поскольку применять его можно только в том случае, когда знаменатели данных дробей полодительны, а это вовсе не следует из указанных ограничений.

arqady в сообщении #423314 писал(а):

Следующее неравенство тоже верно.
Для положительных $x,y,z$ таких, что $xy+xz+yz = 1,$ докажите, что

$$\frac{x^3}{1-5y^2xz}+\frac{y^3}{1-5z^2yx} + \frac{z^3}{1-5x^2yz} \ge \frac{(x+y+z)^3}{4}$$

где знаменатели дробей положительны.

[MrDindows]

А такое?
$5xyz(x+y+z)^3+4(x^2+y^2+z^2)^2 \geq (x+y+z)^4$

[arqady]

MrDindows в сообщении #423548 писал(а):

А такое?
$5xyz(x+y+z)^3+4(x^2+y^2+z^2)^2 \geq (x+y+z)^4$

Это оно!
Остаётся его доказать.