Здравствуйте!
Пытаюсь решить задачу № 4270 из сборника задач Демидовича:
Доказать, что если

— непрерывная функция и

— кусочно гладкий замкнутый контур, то

Через формулу Грина доказать не получится, так как

по условию не обязательно является дифференцируемой.
Долго пытался сообразить, но пришел только достаточно «глупый» вариант: перейти к полярным координатам:

, и тогда получится:
![$\[\int\limits_C {f({x^2} + {y^2})(xdx + ydy)} = \int\limits_{C'} {f({r^2})\left( {r\cos \left( \varphi \right)\left( {\cos \left( \varphi \right)dr - r\sin \left( \varphi \right)d\varphi } \right) + r\sin \left( \varphi \right)\left( {\sin \left( \varphi \right)dr + \cos \left( \varphi \right)d\varphi } \right)} \right)} = \]$ $\[\int\limits_C {f({x^2} + {y^2})(xdx + ydy)} = \int\limits_{C'} {f({r^2})\left( {r\cos \left( \varphi \right)\left( {\cos \left( \varphi \right)dr - r\sin \left( \varphi \right)d\varphi } \right) + r\sin \left( \varphi \right)\left( {\sin \left( \varphi \right)dr + \cos \left( \varphi \right)d\varphi } \right)} \right)} = \]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/b/3/3b37436c41a9de6d5d15474e5c338e3b82.png)
![$\[ = \int\limits_{C'} {f({r^2})\left( {r \cdot dr + 0 \cdot d\varphi } \right)} = 0\]$ $\[ = \int\limits_{C'} {f({r^2})\left( {r \cdot dr + 0 \cdot d\varphi } \right)} = 0\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/c/5/8c57f5f2dd28872d6dc47b4788a1a8e282.png)
(последний интеграл по формуле Грина равен нулю)
Однако, насколько возможен здесь подобный переход в полярные координаты? Мне кажется, что не просто так это можно сделать...
Подскажите, пожалуйста, как лучше доказать это?