Доказать свойство криволинейных интегралов

[Alfucio]

Здравствуйте!

Пытаюсь решить задачу № 4270 из сборника задач Демидовича:

Доказать, что если $f(u)$ — непрерывная функция и $C$ — кусочно гладкий замкнутый контур, то

$$\int\limits_C {f({x^2} + {y^2})(xdx + ydy)} = 0$$

Через формулу Грина доказать не получится, так как $f$ по условию не обязательно является дифференцируемой.

Долго пытался сообразить, но пришел только достаточно «глупый» вариант: перейти к полярным координатам: $x = r\cos \varphi ,y = r\sin \varphi $, и тогда получится:
$\[\int\limits_C {f({x^2} + {y^2})(xdx + ydy)} = \int\limits_{C'} {f({r^2})\left( {r\cos \left( \varphi \right)\left( {\cos \left( \varphi \right)dr - r\sin \left( \varphi \right)d\varphi } \right) + r\sin \left( \varphi \right)\left( {\sin \left( \varphi \right)dr + \cos \left( \varphi \right)d\varphi } \right)} \right)} = \]$
$\[ = \int\limits_{C'} {f({r^2})\left( {r \cdot dr + 0 \cdot d\varphi } \right)} = 0\]$
(последний интеграл по формуле Грина равен нулю)

Однако, насколько возможен здесь подобный переход в полярные координаты? Мне кажется, что не просто так это можно сделать...

Подскажите, пожалуйста, как лучше доказать это?

[neo66]

Диффенциальная форма под знаком интеграла точна, то есть равна $dg$ для некоторой функции $g(x,y)$. Поэтому, по формуле Стокса, интеграл равен нулю.

[ewert]

Alfucio в сообщении #422629 писал(а):

Однако, насколько возможен здесь подобный переход в полярные координаты?

Возможен, но не обязателен. Надо просто рассмотреть любую кусочно-гладкую параметризацию контура $x=x(t),\ y=y(t)$ (заведомо существующую, раз уж контур кусочно-гладок). Тогда фактически по определению $x\,dx+y\,dy=\frac12\big(x^2(t)+y^2(t)\big)'dt\equiv\frac12\big(r^2(t)\big)'dt$. И тогда всё сводится к теореме о замене переменной: если функция $u(t)$ непрерывно дифференцируема, а функция $f$ непрерывна, то $\int\limits_{t=0}^1f(u(t))u'(t)\,dt=\int\limits_{u=u_0}^{u_1}f(u)\,du=F(u_1)-F(u_0)$. И после сложения таких интегралов по всем кусочкам гладкости все значения первообразной сократятся.

А Грины со Стоксами в этой конкретно задачке пусть лучше отдохнут.

[Alfucio]

Спасибо большое!