Магические квадраты

[Nataly-Mak]

Собираюсь изменить статью в OEIS A179440.
Для этого собрала все пандиагональные квадраты из простых чисел вместе. Квадраты порядков 4 - 5 не изменились, поэтому не привожу их.
Для каждого порядка указана наименьшая магическая константа обычного магического квадрата из простых чисел.

$n=6, S = 486$ (svb)

61  71  59  67  79 149 
29 113 157   5  73 109 
47 101  13 131 163  31 
107 167  19  89   7  97 
139  11  41 151 127  17 
103  23 197  43  37  83

Наименьший обычный МК6 из простых чисел имеет магическую константу 432.

$n = 7, S = 1649$ (Pavlovsky)

359   443   181   79   61   293   233
73   347   479   449   11   193   97
23   211   109   127   593   569   17
683   137   29   41   223   163   373
277   409   463   251   149   47   53
167   59   107   523   499   31   263
67   43   281   179   113   353   613

Наименьший обычный МК7 из простых чисел имеет магическую константу 733.

$n = 8, S = 1584$ (Nataly-Mak)

5  13  463  293  443  283  53  31 
313  379  71  73  89  79  191  389 
23  211  167  331  199  353  149  151 
449  239  41  97  59  127  349  223 
19  47  439  269  457  317  29  7 
241  383  109  103  17  83  229  419 
101  139  181  311  277  281  163  131 
433  173  113  107  43  61  421  233

Наименьший обычный МК8 из простых чисел имеет магическую константу 1154.

$n = 9, S = 34.072.478.061$ (alexBlack)

15534163 5808276703 6780601753 9818952761 4316202827 4509221681 1523004953 1233013157 67670063
1523004887 1233013091 67669997 15534307 5808276847 6780601897 9818952683 4316202749 4509221603
9818952827 4316202893 4509221747 1523004809 1233013013 67669919 15534241 5808276781 6780601831
15534433 5808276973 6780601213 9818953031 4316203097 4509221141 1523005223 1233013427 67669523
1523005157 1233013361 67669457 15534577 5808277117 6780601357 9818952953 4316203019 4509221063
9818953097 4316203163 4509221207 1523005079 1233013283 67669379 15534511 5808277051 6780601291
15534703 5808276433 6780601483 9818953301 4316202557 4509221411 1523005493 1233012887 67669793
1523005427 1233012821 67669727 15534847 5808276577 6780601627 9818953223 4316202479 4509221333
9818953367 4316202623 4509221477 1523005349 1233012743 67669649 15534781 5808276511 6780601561

Наименьший обычный МК9 из простых чисел имеет магическую константу 1731.

$n = 10, S = 3594$ (Pavlovsky)

103    463    601    547    857    167    163    337     73    283
347    359    281    563    271    313    509    449    389    113
881    197    193    379    109    523    607    571      7    127
277    331    641    491    467    383    401    569     11     23
613    631     13    151     31    157    911    239    229    619
521    593    131     29     17     41    409    373    719    761
 61    199    947    479    733    727     19    211     37    181
149     83    487    643    773    971    251     53    137     47
139    307     43    241     67    223     97    439   1451    587
503    431    257     71    269     89    227    353    541    853

Наименьший обычный МК10 из простых чисел имеет магическую константу 2470.

$n = 11, S = 198341$ (Nataly-Mak)

24077 463 179 251 7369 94309 47 59443 1597 4337 6269
93967 1979 409 211 63617 7673 107 43 24203 683 5449
6287 59387 1447 233 263 29473 94399 59 67 2143 4583
5503 93979 24083 499 223 4241 8219 353 61 59513 1667
4673 6299 11 1993 479 281 64783 95383 113 79 24247
2213 5749 93997 59393 1483 277 4253 30323 443 73 137
59557 5657 6353 23 24097 569 293 5407 95929 359 97
149 24317 5839 94009 17 2029 523 4271 65633 1427 127
109 181 6203 6599 41 59407 1553 347 5419 118033 449
373 167 59627 6823 94063 29 24133 613 4283 6257 1973
1433 163 193 28307 6689 53 31 2099 593 5437 153343

Наименьший обычный МК11 из простых чисел имеет магическую константу 3417.

$n = 12, S = 13860$ (Nataly-Mak)

37 97 73 863 1019 197 1423 1217 2083 2297 2287 2267
739 149 271 761 421 587 877 1847 1609 2243 2203 2153
293 613 523 487 647 827 1709 1249 1201 2131 2111 2069
1427 1223 2099 2293 2281 2251 41 103 89 859 1013 181
881 1871 1619 2239 2179 2143 743 173 281 757 397 577
1753 1279 1319 2087 2081 1951 337 643 641 443 617 709
887 1093 227 13 23 43 2273 2213 2237 1447 1291 2113
1433 463 701 67 107 157 1571 2161 2039 1549 1889 1723
601 1061 1109 179 199 241 2017 1697 1787 1823 1663 1483
2269 2207 2221 1451 1297 2129 883 1087 211 17 29 59
1567 2137 2029 1553 1913 1733 1429 439 691 71 131 167
1973 1667 1669 1867 1693 1601 557 1031 991 223 229 359

Наименьший обычный МК12 из простых чисел имеет константу 4584.

Для порядков 7 - 12 не доказана минимальность квадратов.
Если где-то ошиблась в сведениях о квадратах, прошу коллег поправить.

[Nataly-Mak]

Интересную тенденцию можно заметить: магические константы пандиагональных квадратов чётных порядков из простых чисел достаточно близки к наименьшим магическим константам обычных МК из простых чисел; для нечётных порядков разница между магическими константами весьма существенна. Особенно отличился в этом плане пандиагональный квадрат 9-го порядка. Его и построить очень долго не удавалось, даже когда я получила достаточные условия для примитивного квадрата.
Вопрос остаётся открытым: неужели нельзя уменьшить магическую константу пандиагонального квадрата 9-го порядка? Как, впрочем, и для всех остальных порядков, кроме 4 - 6, только для этих порядков минимальность пандиагональных квадратов из простых чисел доказана.
Такая же тенденция намечается и в пандиагональных квадратах из смитов, хотя их построено ещё очень мало.

[Nataly-Mak]

Мне очень тоскливо продолжать монолог при полном молчании коллег, но всё же продолжу.

Ещё несколько слов о построении идеального квадрата 9-го порядка из простых чисел. Как я уже говорила, мной разработан неплохой алгоритм для этого построения (алгоритм изложен в указанной выше статье). В общей формуле идеального квадрата 9-го порядка имеется 24 независимых переменных (при известной магической константе), в моём алгоритме всего 7 независимых переменных.
Выкладываю свою программу построения идеального квадрата 9-го порядка. Понятно, что массив должен состоять из комплементарных пар чисел, не менее 40 пар. В архиве есть два текстовых файла: MK3.txt и MK4.txt. В первый файл (он всегда является входным файлом для программы!) сейчас записан для примера массив из 47 комплементарных пар, центральное число 1747 (равно константе комплементарности, делённой пополам); это число в массив не записывается, оно вычисляется в программе.
При запуске программы будет запрос: "Введите количество комплементарных пар", в данном примере вводим 47. После ввода программа начинает работу, на экран выводятся значения переменной самого внешнего цикла. Программа выходит в конец сразу после первого найденно квадрата. В программе строится примитивный квадрат. Потом его надо будет превратить в идеальный квадрат с помощью матричного преобразования.
Найденный квадрат запишется в файл MK10.txt.
В файле MK4.txt приведён массив для построения примитивного квадрата, составленного из первых 81 натуральных чисел, то есть это для построения классического идеального квадрата. Чтобы испытать программу с этим массивом, надо переписать данные из файла MK4.txt в файл MK3.txt. Количество комплементарных пар здесь будет равно 40.
У меня в этом тесте программа выдаёт готовый примитивный квадрат через 5 секунд. Вот такой:

10  11  12  13  14  15  16  17  18 
 19  20  21  22  23  24  25  26  27 
 1  2  3  4  5  6  7  8  9 
 28  29  30  31  32  33  34  35  36 
 37  38  39  40  41  42  43  44  45 
 46  47  48  49  50  51  52  53  54 
 73  74  75  76  77  78  79  80  81 
 55  56  57  58  59  60  61  62  63 
 64  65  66  67  68  69  70  71  72

Ссылка

При небольших количествах комплементарных пар программа работает быстро. Однако чем дальше, тем хуже. А проверять придётся, наверное, очень много потенциальных массивов. Поэтому откладываю эту программу на потом и приступаю к написанию статьи о нетрадиционных пандиагональных квадратах 10-го порядка.
Желающие могут попробовать предложенную программу и сообщить о результатах.
Кроме того, может быть, найдутся желающие сделать свою программу либо по моему алгоритму, либо по какому-то другому.
Любопытно было бы посмотреть на идеальный квадрат 9-го порядка из простых чисел

[Nataly-Mak]

Выяснилось, что статья OEIS A179440 не имеет права на существование.

Как мне пояснил maxal, в статьях OEIS не должно быть недоказанных значений.
А мы имеем только три доказанные минимальные магические константы - для порядкоа 4 - 6.
С тремя же членами статья не может существовать в OEIS (нужно минимум 4 члена последовательности).

Впрочем, я строила квадраты не для OEIS и мне абсолютно безразлично, попадут они туда или нет.
Попросила maxal'а удалить статью из энциклопедии.

[Nataly-Mak]

Просмотрела всё собрание магических квадратов из простых чисел. Обнаружила, что не построен наименьший ассоциативный квадрат 7-го порядка. Есть наименьшие ассоциативные квадраты порядков 3 – 6, 8, а вот 7-го порядка нет.
Построен идеальный квадрат 7-го порядка, который, конечно, тоже является ассоциативным. Но это, скорее всего, не наименьший квадрат.

Наводит на размышления идеальный квадрат 7-го порядка из произвольных натуральных чисел, построенный maxal’ем в конкурсе «Нетрадиционные пандиагональные квадраты»:

3616 3650 3676 3626 3664 3695 1817
3607 3629 3654 3622 3696 3663 1873
2174 2266 2220 2031 3835 5578 5640
3325 6783 5037 3392 1747 1 3459
1144 1206 2949 4753 4564 4518 4610
4911 3121 3088 3162 3130 3155 3177
4967 3089 3120 3158 3108 3134 3168

Любопытный экземпляр! Крутила его так и сяк. Наверняка это нерегулярный (по Россеру) пандиагональный квадрат. Соответствующий ему примитивный квадрат у меня ни за что не получается. Наверное, он просто не существует для данного квадрата.

Pavlovsky, что скажете?
Кажется, мы приблизились к ответу на тот вопрос о регулярных и нерегулярных пандиагональных квадратах. Что-то мне подсказывает, что можно строить пандиагональные квадраты 7-го порядка, не применяя примитивные квадраты.
И вполне возможно, что среди этих пандиагональных квадратов и будет наименьший квадрат из простых чисел. Но вот как строить такие квадраты?

А ассоциативный квадрат 7-го порядка из простых чисел почему у нас до сих пор отсутствует? Тоже не знаем, как его строить?

[Nataly-Mak]

Ну вот, настолько увлеклись лёгкими примитивными квадратами Россера, что совсем забыли общую формулу пандиагонального квадрата 7-го порядка
А ведь я с неё начинала, когда подошла к построению таких квадратов из простых чисел. (Пандиагональный квадрат 5-го порядка из простых чисел построила с помощью арифметических прогрессий, но он, конечно, не является наименьшим квадратом. Наименьший квадрат с магической константой 395 нашёл Pavlovsky уже по Россеру.)
Была составлена система уравнений, систему помогли решить на форуме Портала ЕН. Не помню, выкладывала ли здесь эту формулу. Но точно помню, что maxal выкладывал свою общую формулу для порядка 7 (и не только для этого порядка). Сейчас подняла черновики, есть распечатка формулы maxal’а, и, конечно, распечатка моей формулы.

Теперь поняла, как maxal построил идеальный квадрат 7-го порядка, представленный на конкурс. Конечно же, по общей формуле!
Построить по общей формуле пандиагональный или идеальный квадрат из произвольных натуральных чисел проще пареной репы. Задали произвольные значения для независимых переменных, вычислили по формулам значения зависимых переменных. Квадрат готов! Увы, с простыми числами так просто не получается, потому что вычисленные по формулам зависимые переменные не хотят получаться тоже простыми числами. В этом вся сложность.
Примитивные квадраты Россера очень сильно помогли, потому что они позволили резко сократить количество независимых переменных. Но в то же время они сократили и пространство получаемых пандиагональных (идеальных) квадратов. В этом большой минус.

Если правильно помню, в общей формуле пандиагонального квадрата 7-го порядка 24 независимых переменных. Сейчас посмотрела на формулу, кажется, всё верно. Вот есть в черновиках даже пандиагональный квадрат, построенный по этой формуле, пыталась по программе строить, но получила по программе только 29 чисел, остальные достроила вручную. Можно в этом квадрате избавиться от отрицательных чисел и будет нетрадиционный пандиагональный квадрат из произвольных натуральных чисел, наверняка никакой нерегулярный.
А потом пошли уже построения по Россеру, с использованием примитивных квадратов. Первый такой квадрат построил svb (с магической константой 1895), потом Pavlovsky улучшил его результат (магическая константа 1649). Наверное, это не есть ещё наименьшая магическая константа пандиагонального квадрата 7-го порядка из простых чисел, потому что мы ещё ничего не искали в пространстве всех пандиагональных квадратов, которое описывается общей формулой.

Вот приведу пандиагональный квадратик, свою попытку применить общую формулу:

341 7 331 29 83 -1 7
67 13 59 151 9 299 199
17 335 37 227 31 109 41
127 11 79 73 209 71 227
53 239 193 19 223 47 23
177 179 -93 197 61 43 233
15 13 191 101 181 229 67

Видно, что в квадрате довольно много простых чисел. Но, увы, попытка не увенчалась успехом. Слишком много в программе независимых переменных.
Однако, интересный момент: в моём алгоритме для пандиагональных квадратов 8-го порядка тоже 24 независимых переменных (в общей формуле такого квадрата их 36), но в этом случае программа почему-то выполняется довольно быстро.

-- Пт мар 18, 2011 09:12:01 --

В общей формуле для идеального квадрата 7-го порядка всего 12 независимых переменных (при известной магической константе). Тем не менее, судя по сообщениям maxal'а, программа построения таких квадратов из простых чисел (или из смитов) тоже отнюдь "не бежит".
maxal сообщал, что неспешно отсеял несколько потенциальных массивов из смитов для идеального квадрата 7-го порядка.
В моём алгоритме построения идеального квадрата, основанном на использовании примитивного квадрата, всего 6 независимых переменных. Мне удалось построить идеальный квадрат 7-го порядка из простых чисел по этому алгоритму, но он наверняка не наименьший.

Вчера поколдовала над ассоциативным квадратом 7-го порядка. У меня получилось 18 независимых переменных. Может, меньше? Надо попробовать написать программу.

[Nataly-Mak]

Сейчас посмотрела, моя общая формула пандиагонального квадрата 7-го порядка приведена в первой части статьи "Нетрадиционные пандиагональные квадраты".

[Nataly-Mak]

Написала программу построения ассоциативного квадрата 7-го порядка. У меня 18 независимых переменных получается.
Никто не ответил на мой вопрос, 18 независимых переменных - это правильно? Прямо с пустотой разговариваю.

Программа, конечно, работает долго. Протестировала на классическом ассоциативном квадрате, задала значения переменных первых трёх циклов, то есть три переменных из 18 зафиксировала. Тогда квадраты строятся быстро, вот пример:

4 47 13 30 14 39 28
35 5 38 21 33 42 1
10 44 16 26 27 9 43
48 19 32 25 18 31 2
7 41 23 24 34 6 40
49 8 17 29 12 45 15
22 11 36 20 37 3 46

Затем взяла для тестирования массив простых чисел, из которого построен идеальный квадрат. Тоже зафиксировала три переменных, квадрат построился такой (за несколько секунд):

7753  30637  13759  37123  20233  44017  27799 
34429  13723  36187  19309  43093  26863  7717 
13687  39979  19273  42157  25939  6793  33493 
39043  19237  45949  25903  5857  32569  12763 
18313  45013  25867  9649  32533  11827  38119 
44089  24943  8713  32497  15619  38083  17377 
24007  7789  31573  14683  38047  21169  44053

Да и сам идеальный квадрат тоже является ассоциативным квадратом. Теперь надо найти ассоциативный квадрат из простых чисел с меньшей магической константой. Думаю, что он существует.
Для других массивов простых чисел пока не испытала программу.

[Nataly-Mak]

Попробовала программу для первого потенциального массива из простых чисел с центральным числом 617. Поняла, что если квадрата нет и программе надо выполниться полностью, на это потребуется несколько суток. Интересная особенность такого рода программ: если повезёт и квадрат из заданного массива существует, он может найтись за несколько секунд или минут. В противном случае (когда квадрат не существует) программа будет выполняться очень долго.

Сейчас попробую сделать общую формулу идеального квадрата 7-го порядка из общей формулы пандиагонального квадрата. В этой формуле всего 12 независимых переменных. Можно будет попробовать по этой формуле искать наименьший идеальный квадрат 7-го порядка из простых чисел.
В любом случае, эта формула сама по себе представляет интерес. Возможны различные реализации, может, кто-то напишет по этой формуле эффективную программу, которая будет выполняться довольно быстро. Пути для оптимизации есть почти всегда.

-- Вс мар 20, 2011 12:39:00 --

Вот и повезло

Решила заняться общей формулой идеального квадрата 7-го порядка, а тем временем покрутить программу для ассоциативного квадрата. Выбрала центральное число 1447, 44 комплементарных пары. Запустила программу (понятно, с некоторыми ограничениями на переменные циклов). Программа быстренько выскочила в конец. Выбираю другое центральное число (просто произвольно) - 4177, 82 комплементарных пары. Запускаю программу, сама иду (в другую комнату) за томом, в котором общая формула пандиагонального квадрата, чтобы начать с ней работать. Прихожу, ассоциативный квадрат уже готов!

67 8317 613 4261 937 8017 7027
7603 43 7621 1021 5023 7867 61
601 8191 1297 6691 6871 421 5167
8161 3931 7477 4177 877 4423 193
3187 7933 1483 1663 7057 163 7753
8293 487 3331 7333 733 8311 751
1327 337 7417 4093 7741 37 8287

Магическая константа равна 29239. У найденного мной идеального квадрата магическая константа равна 181321.
Итак, верхняя граница для магической константы ассоциативного квадрата 7-го порядка найдена, теперь круг поиска значительно сузился. Кто продолжит?

[Nataly-Mak]

И ещё один! Центральное число выбрала 2707, 57 комплементарных пар. Квадрат нашёлся за 5 секунд.

307 5407 337 2731 811 4993 4363
4657 67 4801 907 3673 4663 181
601 5101 1723 4327 3463 463 3271
4957 2251 3793 2707 1621 3163 457
2143 4951 1951 1087 3691 313 4813
5233 751 1741 4507 613 5347 757
1051 421 4603 2683 5077 7 5107

Магическая константа 18949.

Товарищи! Всё очень просто. Попробуйте
Нужна меньшая магическая константа.

[Nataly-Mak]

Ещё целый ряд ассоциативных квадратов 7-го порядка из простых чисел построила очень быстро. Добралась до второго кандидата на наименьший квадрат (произвольно выбирая центральные числа), центральное число 641, 25 комплементарных пар. Удивительно! Этот квадрат построился за 1 секунду. Вот он:

53 1277 101 1091 173 1019 773
1013 59 863 599 881 1049 23
179 1193 563 821 761 131 839
1031 311 929 641 353 971 251
443 1151 521 461 719 89 1103
1259 233 401 683 419 1223 269
509 263 1109 191 1181 5 1229

Магическая константа равна 4487.

Итак, остался один кандидат - центральное число 617, ровно 24 комплементарные пары. Если из этого массива ассоциативный квадрат не построится, тогда представленный выше квадрат является наименьшим.
Но вот здесь пока всё сложно. Программа надолго задумывается. Есть подозрение, что квадрат из этого массива не составляется. Но не факт!

[Nataly-Mak]

Кажется, доказала, что ассоциативный квадрат 7-го порядка из простых чисел с магической константой 4319 построить невозможно.
Вот этот массив, в нём 49 чисел:

3 1231 5 1229 11 1223 17 1217 41 1193 47 1187 53 1181 71 1163 83 1151 131 1103 137 1097 173 1061 251 983 257 977 263 971 281 953 293 941 347 887 353 881 461 773 491 743 557 677 587 647 593 641 617

Представила все числа по модулю 6; 47 чисел равны 5(mod 6), и два числа такие: 3 = 3(mod 6), 1231 = 1(mod 6).
Магическая константа квадрата 4319 = 5(mod 6).
Понятно, что числа 3 и 1231 нельзя вписать по отдельности в строку, столбец или диагональ квадрата, чтобы получить сумму, равную 5(mod 6).
Вроде верное доказательство.

Следовательно, наименьший ассоциативный квадрат 7-го порядка из простых чисел имеет магическую константу 4487.

-- Вс мар 20, 2011 17:39:35 --

Ну, вот можно представить все наименьшие ассоциативные квадраты из простых чисел, известные на сегодняшний день:

$n = 3, S = 177$

17 89 71
113 59 5
47 29 101

$n = 4, S = 240$

17 113 37 73
79 31 107 23
97 13 89 41
47 83 7 103

$n = 5, S = 1255$

11 263 101 431 449
443 149 389 41 233
479 311 251 191 23
269 461 113 353 59
53 71 401 239 491

$n = 6, S = 630$

11 197 17 191 47 167
181 31 173 53 131 61
139 59 137 83 109 103
107 101 127 73 151 71
149 79 157 37 179 29
43 163 19 193 13 199

$n = 7, S = 4487$

53 1277 101 1091 173 1019 773
1013 59 863 599 881 1049 23
179 1193 563 821 761 131 839
1031 311 929 641 353 971 251
443 1151 521 461 719 89 1103
1259 233 401 683 419 1223 269
509 263 1109 191 1181 5 1229

$n = 8, S = 2040$

7 499 19 487 463 67 467 31
53 421 233 409 317 157 379 71
61 347 239 401 313 227 373 79
173 311 241 179 383 281 359 113
397 151 229 127 331 269 199 337
431 137 283 197 109 271 163 449
439 131 353 193 101 277 89 457
479 43 443 47 23 491 11 503

Все квадраты, кроме квадрата 3-го порядка, найдены мной.

Далее предстоит найти наименьший ассоциативный квадрат 9-го порядка из простых чисел. Пока никакого не имеем.

[Nataly-Mak]

Дополнила статью "Алгоритмы построения нетрадиционных ассоциативных квадратов".

Интересно теперь посмотреть на нетрадиционный ассоциативный квадрат 9-го порядка. Сколько в нём независимых переменных? Реально ли построить такой квадрат из простых чисел? Идеальный квадрат пока не найден. Но на примере ассоциативного квадрата 7-го порядка видно, что ассоциативный квадрат построить проще, хотя в идеальном квадрате меньше степеней свобод. По крайней мере, по моей программе ассоциативные квадраты нашлись сразу, а идеальный квадрат я искала очень долго, да к тому же ещё, скорее всего, найденный квадрат не является наименьшим.
Вот сейчас вернусь всё-таки к общей формуле идеального квадрата 7-го порядка. Может быть, она даст возможность найти наименьший квадрат.

[Nataly-Mak]

Получила общую формулу идеального квадрата 7-го порядка из общей формулы пандиагонального квадрата (ссылка на эту формулу дана выше). Приведу здесь схему, по которой была получена общая формула пандиагонального квадрата (путём решения системы уравнений).

На картинке выделены синим цветом независимые переменные, их 12 штук. У меня в программе такой порядок следования независимых переменных: 1 этап) задаются 6 переменных, вычисляется одна зависимая; 2 этап) задаются 4 независимых переменных, вычисляются две зависимых; 3 этап) задаётся одна независимая переменная, вычисляется одна зависимая; 4 этап) задаётся последняя независимая переменная, вычисляются все остальные зависимые переменные.
Понятно, что от порядка выбора независимых переменных зависит скорость выполнения программы.
Я пока не рассматривала другие варианты.
Протестировала программу на классическом идеальном квадрате, квадрат построился такой:

1  21  34  47  11  24  37 
45  9  22  42  6  19  32 
40  4  17  30  43  14  27 
35  48  12  25  38  2  15 
23  36  7  20  33  46  10 
18  31  44  8  28  41  5 
13  26  39  3  16  29  49

Для простых чисел программу пока не испытала.

Предлагаю желающим попробовать получить общую формулу идеального квадрата 7-го порядка (можно для этого воспользоваться моей формулой пандиагонального квадрата, или формулой maxal’а, которая была здесь выложена) и реализовать её наиболее эффективно. Цель: найти наименьший идеальный квадрат 7-го порядка из простых чисел.

[Nataly-Mak]

Кстати, сейчас построила по полученной общей формуле идеального квадрата 7-го порядка идеальный квадрат из произвольных натуральных чисел, аналогичный тому, который представил на конкурс maxal:

332 471 830 429 431 595 545
509 420 427 602 649 177 849
552 428 446 543 582 565 517
1037 537 478 519 560 501 1
521 473 456 495 592 610 486
189 861 389 436 611 618 529
493 443 607 609 208 567 706

Из произвольных натуральных чисел, конечно, всё очень просто: задаём произвольные значения независимых переменных и вычисляем по формулам значения зависимых переменных.