Количество разбиений n>1 на четное число нечетных слагаемых

[nandreao]

Добрый день,
Помогите решить задачу:
найти количество разбиений числа n>1, имеющих четное число нечетных слагаемых.
Спасибо!

[ИСН]

О, это очень просто: для чётных чисел - количество всех вообще разбиений, а для нечётных - ноль.

[svv]

И не придерешься.

[nandreao]

Для нечетных очевидно.
А для четных требуется обоснование.
Расшифруйте, плиз.

[ИСН]

Вы спрашиваете: много ли у числа зелёных разбиений (ну, это я типа так временно обозначил, чтобы не повторять каждый раз условие). Я говорю: у чётных чисел все разбиения зелёные. У нечётных - ни одного.

[nandreao]

Все равно не понял. Например для числа 6 имеем 4 разбиения, удовлетворяющих условию: 6= 1+1+1+1+1+1= 3+1+1+1= 3+3 =5+1. Если добавить сюда разбиения с на четные слагаемые, то общее количество разбиений еще увеличится.
Если под количеством разбиений подразумевать разбиения на неповторяющиеся слагаемые, то их для 6 только 2,
6=5+1 = 4+2.

[ИСН]

Разбиение 6=1+1+4 имеет чётное число нечётных слагаемых. Кто скажет, что это не так, пусть первый бросит сам в себя камень. Если Вы хотели чего-то другого, так и скажите.
(Я не троллю и не издеваюсь. Здесь много совершенно разных задач, формулировки которых отличаются сущими мелочами.)

[nandreao]

Воистину все гениальное просто. Я почему-то уперся в то, что все слагаемые должны быть нечетными, но условие задачи действительно этого не требует.
Теперь все очевидно.
Спасибо за промывку мозгов!

[nandreao]

Интересно, а существуют формулы для подсчета количества разбиений и количества разложений четного числа на произвольные слагаемые?
Ни в литературе, ни в Интернете не нашел. Может пропустил?

[Хорхе]

Количество разложений $2^{n-1}$ (вспоминаем шары и перегородки). Для количества разбиений формулы нет, спите спокойно.

[Kanu]

А если разбить к примеру 6 = 2+2+2?

[nandreao]

В этом разбиении нет нечетных слагаемых. Или можно сказать, что их 0, т.е. четное число.
Разбиение удовлетворяет условию задачи.