Предел, включающий сумму

[Nikita]

решаю такой предел:
$ \lim\limits_{n\to\infty}[\frac1{n^3}(1^2+3^2+5^2+...+(2n-1)^2)]=4/3$
при n->бесконечность
Maple9 без труда приводит сумму $1^2+3^2+5^2+...+(2n-1)^2 $ к выражению:
$ (11/3)*n+8/3-4*(n+1)^2+(4/3)*(n+1)^3 $, которое легко трансформирует в $ -(1/3)*n+(4/3)*n^3$, откуда видно, что предел равен 4/3, но как он преобразовывает сумму к степенному выражению никак не пойму?.. Существует ли какой нибудь метод, позволяющий найти аналитическое выражение для суммы ряда в виде S(n) ?

[RIP]

О том, как обращаться с такими суммами, можно почитать в книжке Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. — Конкретная математика.(если у Вас есть доступ к библиотеке.) В частности, формулы

$$1+2+\ldots+n=\frac{n(n+1)}2$$

$$1^2+2^2+\ldots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6$$

$$1^3+2^3+\ldots+n^3=\left(\frac{n(n+1)}2\right)^2$$

полезно помнить.
Вашу сумму можно упростить 2 способами(первый способ общий, второй учитывает специфику примера)

$$\sum_{k=1}^n(2k-1)^2=\sum_{k=1}^n(4k^2-4k+1)=4\sum_{k=1}^nk^2-4\sum_{k=1}^nk+n=\ldots$$

$$\sum_{k=1}^n(2k-1)^2=\sum_{k=1}^{2n}k^2-\sum_{k=1}^n(2k)^2=\sum_{k=1}^{2n}k^2-4\sum_{k=1}^nk^2=\ldots$$

Ещё замечу, что предел можно найти и без сворачивания суммы.

$$\lim_{n\to\infty}\frac1{n^3}\sum_{k=1}^n(2k-1)^2=4\lim_{n\to\infty}\frac1{n^3}\sum_{k=1}^nk^2-4\lim_{n\to\infty}\frac1{n^3}\sum_{k=1}^nk+\lim_{n\to\infty}\frac1{n^3}\cdot n$$

Последний предел есть $0$. Предпоследний - тоже, т.к. $\sum_{k=1}^nk\leqslant\sum_{k=1}^n n=n^2$(хотя эту сумму Вы знать должны: сумма арифметической прогрессии).
Найти первый предел можно, например, так

$$\lim_{n\to\infty}\frac1{n^3}\sum_{k=1}^nk^2=\lim_{n\to\infty}\frac1{n}\sum_{k=1}^n\left(\frac kn\right)^2=\int\limits_0^1x^2dx=\frac13.$$

[Nikita]

RIP, Спасибо!