2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Предел, включающий сумму
Сообщение28.11.2006, 09:05 
решаю такой предел:
$  \lim\limits_{n\to\infty}[\frac1{n^3}(1^2+3^2+5^2+...+(2n-1)^2)]=4/3$
при n->бесконечность
Maple9 без труда приводит сумму $1^2+3^2+5^2+...+(2n-1)^2 $ к выражению:
$ (11/3)*n+8/3-4*(n+1)^2+(4/3)*(n+1)^3 $, которое легко трансформирует в $ -(1/3)*n+(4/3)*n^3$, откуда видно, что предел равен 4/3, но как он преобразовывает сумму к степенному выражению никак не пойму?.. Существует ли какой нибудь метод, позволяющий найти аналитическое выражение для суммы ряда в виде S(n) ?

 
 
 
 
Сообщение28.11.2006, 10:04 
Аватара пользователя
О том, как обращаться с такими суммами, можно почитать в книжке Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. — Конкретная математика.(если у Вас есть доступ к библиотеке.) В частности, формулы
$$1+2+\ldots+n=\frac{n(n+1)}2$$
$$1^2+2^2+\ldots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6$$
$$1^3+2^3+\ldots+n^3=\left(\frac{n(n+1)}2\right)^2$$
полезно помнить.
Вашу сумму можно упростить 2 способами(первый способ общий, второй учитывает специфику примера)
$$\sum_{k=1}^n(2k-1)^2=\sum_{k=1}^n(4k^2-4k+1)=4\sum_{k=1}^nk^2-4\sum_{k=1}^nk+n=\ldots$$
$$\sum_{k=1}^n(2k-1)^2=\sum_{k=1}^{2n}k^2-\sum_{k=1}^n(2k)^2=\sum_{k=1}^{2n}k^2-4\sum_{k=1}^nk^2=\ldots$$
Ещё замечу, что предел можно найти и без сворачивания суммы.
$$\lim_{n\to\infty}\frac1{n^3}\sum_{k=1}^n(2k-1)^2=4\lim_{n\to\infty}\frac1{n^3}\sum_{k=1}^nk^2-4\lim_{n\to\infty}\frac1{n^3}\sum_{k=1}^nk+\lim_{n\to\infty}\frac1{n^3}\cdot n$$
Последний предел есть $0$. Предпоследний - тоже, т.к. $\sum_{k=1}^nk\leqslant\sum_{k=1}^n n=n^2$(хотя эту сумму Вы знать должны: сумма арифметической прогрессии).
Найти первый предел можно, например, так
$$\lim_{n\to\infty}\frac1{n^3}\sum_{k=1}^nk^2=\lim_{n\to\infty}\frac1{n}\sum_{k=1}^n\left(\frac kn\right)^2=\int\limits_0^1x^2dx=\frac13.$$

 
 
 
 
Сообщение28.11.2006, 11:14 
RIP, Спасибо! :D

 
 
 [ Сообщений: 3 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group