Сферическая система координат

[shwedka]

evgeniy в сообщении #421837 писал(а):

Проводим касательную плоскость и для двух ортогональных направлений на касательной плоскорсти строим локальную систему координат. На касательной плоскости имеем величину $ds_l$. На поверхности тела надо добавить $B_{lpq}ds_pds_q$. Возводим величину приращения в квадрат, получим $(ds_l+B_{lpq}ds_pds_q+...)^2=ds_l^2+2B_{lpq}ds_lds_pds_q+... $, т.е. для бесконечно малых второго порядка получаем требуемый результат.

Это все для отрезков, начинающихся в точке касания. А теперь в ТЕХ ЖЕ КООРДИНАТАХ напишите длину отрезка, не начинающегося в точке касания.

evgeniy в сообщении #421837 писал(а):

Про спектр Лапласиана я не слышал, пожалуйста литературу, желательно в интернете. Если это есть в учебниках по математической физике, то для меня это довольно странно.

Серьезное упущение.
Тем более, что про оператор Лапласа-Бельтрами на поверхностях Вы писали.
Совсем просто про спектр оператора Лапласа на сфере написано у
http://window.edu.ru/window_catalog/pdf2txt?p_id=16802,

более подробно - у Михлина
http://djvuru.512.com1.ru:8073/WWW/4c4b644a1a37cd39b0117735d98bd20b.djvu, стр. 238 и далее,
там сферический Лапласиан обозначен буквой $\delta$
или в http://djvuru.512.com1.ru:8073/WWW/6bcfbf4d1d20121723f41b9158356fbc.djvu
параграф 22,

А не сможете разобраться: на любом замкнутом многообразии, в том числе, на сфере, оператор Лапласа Нельтрами имеет полную систему собственных функций, отвечающих дискретной последовательности собственных значений. Эта последовательность называется спектром.
Как раз для случая сферы эти собственные функции и есть сферические функции, от которых Вы хотите избавиться.
Собственные функции определены неоднозначно, но собственные значения и их кратности опеределеныоднозначно, они не зависят от того, в какой системе координат оператор Лапласа-Бельтрами записан.

[evgeniy]

Метрический интервал определяется в точке, относительно которой надо вычислить малое отклонение. Это дифференциал относительно точки и для регулярной поверхности считается именно так. Другое дело, что относительно других параметров полученные углы имеют разрыв производной, но коэффициенты Ламе этих не гладких углов регулярным образом зависят от углов, они равны $R^2 $, при не гладких углах.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #421884 писал(а):

Метрический интервал определяется в точке, относительно которой надо вычислить малое отклонение. Это дифференциал относительно точки и для регулярной поверхности считается именно так. Другое дело, что относительно других параметров полученные углы имеют разрыв производной, но коэффициенты Ламе этих не гладких углов регулярным образом зависят от углов, они равны $R^2 $, при не гладких углах.

Полная чепуха. Вы хотите задать 'новые координаты $s_1, s_2$ не в точке, а на всей сфере.
Так что определитесь
Вариант 1. Это координаты на касательной плоскости. в какой-то точке./ Тогда Вам нужно рассматривать метрический интервал и в других точках.
вариант 2. Это 'огибающие'. тогда рассуждение с касательной плоскостью не проходит.
Для огибающих Вам привели противоречащее Вашему заявлению вычисление. Если не нравится, то вместо размахивания руками, укажите ошибку.

Цитата:

Другое дело, что относительно других параметров полученные углы имеют разрыв производной,

МОжет быть, в каких-то отдельных точках. Про осталальные придется доказать

Цитата:

Это дифференциал относительно точки

такое математическое понятие отсутствует.

-- Пт мар 11, 2011 18:21:55 --

evgeniy в сообщении #421794 писал(а):

ПРичем угол $\theta$ меняется от нуля до пи, а потом движется в противоположном направлении, причем угол увеличивается от $\pi,2\pi$, и так далее возрастая.

И зачем все это? Вы сначала хоть где-нибудь докажите Вашу форму метрического тензора, а затем продолжайте.

-- Пт мар 11, 2011 18:23:58 --

Повторя. Не нужно размахивать руками. Напишите формулы для Ваших$ s_1,s_2$ и сосчитайте метричекий тензор. Получите указание места ошибки

-- Пт мар 11, 2011 18:39:33 --

evgeniy в сообщении #421837 писал(а):

Замените слова надо, на слово можно и получите что раз можно представить в таком виде, то координата $x_3(x_1,x_2)$ должна быть регулярна.

совершенно верно, на каком-то куске сферы эта координата регулярна, на самом деле, всюду , кроме экватора. Вот в таких регулярных точках теорема Гаусса прекрасно выполнена. Не придеретесь. На другом куске сферы координата $x_1(x_3,x_2)$ регулярна, так все точки сферы и обслужим.
Стандартные сферические координаты ведь тоже не всю сферу обслуживают, а кроме плюсов. Но поверните, и получатся полюса.

Важно здесь то, что в локальной дифференциальной геометрии никогда не требуется, чтобы вся поверхность задавалась одной и той же функцией одних и тех же переменных.
Обычно это и невозможно. Да и не нужно никому. Нужно, чтобы поверхность можно было бы покрыть локальными картами с локальными координатными представлениями. И в пределах одной локальной карты уже писать все формулы, включая Гаусса.

[evgeniy]

У меня к вАм вопрос, поверхность, для которой доказана теорема Гаусса регулярна? Я считал, что регулярна, и тогда ее любое представление должно быть регулярно. это свойство поверхности.
Мне нужно почитать вАши книги, вы написали, что собственные значения определены однозначно. Я бы хотел почмтать особенности этих однозначных определений, может быть они для гладких углов.
Формула для
$s_1=\int_{\theta=0}^{\theta}\sqrt{\sum_{k=1}^3(\frac{\partial x_k}{\partial \theta})^2}d\theta=R\theta-2\pi R$вторая огибающая определяется аналогично и равна
$s_2=|sin\theta|(\varphi-2\pi)R$
Я могу описать только то, что уже говорил. Выбираем точку $(s_1,s_2)$ на теле, на касательной плоскости, приращения относительно этой точки совпадают на теле и на плоскости с точностью до второго порядка малости, строим метрический интервал, который на теле и на плоскости равен $ds_1^2+ds_2^2$.
дИфференциал берется относительно изменения одной координаты, при другой фиксированной и определяется
$ds_1=Rd\varphi_1=Rd\theta$
$ds_2=Rd\varphi_2=Rd(|sin\theta|(\varphi-2\pi))$
Второй дифференциал надо понимать в смысле обобщенных функций, и я вычислил производную от модуля синуса в предыдущем сообщении.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #421909 писал(а):

что регулярна, и тогда ее любое представление должно быть регулярно. это свойство поверхности.

Sовершенно зртя Вы так считали. Очередное измышление.

evgeniy в сообщении #421909 писал(а):

на касательной плоскости,

Вопрос. На какой касательной плоскости.

Цитата:

строим метрический интервал, который на теле и на плоскости равен $ds_1^2+ds_2^2$

Неверно. Если $s_1,s_2$ такие, как написано, тоне так.

evgeniy в сообщении #421909 писал(а):

$ds_1=Rd\varphi_1=Rd\theta$
$ds_2=Rd\varphi_2=Rd(|sin\theta|(\varphi-2\pi))$

Вот и посчитайте мetрический тензор. в переменных
$\theta, \varphi$ он известен. Пересчитайте на $s_1,s_2$.
по-честному. Без болтовни. там, где синус не ноль и все гладенько.




-- Пт мар 11, 2011 19:42:01 --

evgeniy в сообщении #421909 писал(а):

приращения относительно этой точки совпадают на теле и на плоскости с точностью до второго порядка малости,

но вам нужно через эти приращения выразить длину микроинтервала на сфере.

В очередной раз, сосчитайте честно.

-- Пт мар 11, 2011 20:00:25 --

Давайте посчитаем.

Цитата:

$ds_2=Rd\varphi_2=Rd(sin\theta(\varphi-2\pi))$

Пишем дальше
$= Rd(sin\theta)(\varphi-2\pi)+R\sin\theta d \varphi.$

$ds_1^2 +ds_2^2=R^2d\theta^2+[(R\cos\theta)d\theta(\varphi-2\pi)+R \sin\theta d \varphi]^2$
и это не равно метрическому тензору сферы.
$ds^2=R^2d\theta^2+R^2\sin^2\theta d\varphi^2$

Значит, предположение $ds_1^2 +ds_2^2$ ошибочно.

[evgeniy]

Я тоже обнаружил эту ошибку, но по другому. При изменении $s_1$ меняется угол $\theta$, а величина $s_2$ должна быть константа. А это невозможно, так как тогда должен изменяться угол $\theta $, и чтобы огибающая $s_2$ равнялась константе, должен меняться угол $\varphi$, т.е. преобразование становится не ортогональным.
ЭТо общее правило, в случае метрического интервала $ds_1^2+ds_2^2$, при изменении одной огибающей, другая должна быть константа.
Возникает вопрос, какую другую ортогональную сетку выбрать, не сферическую, чтобы в результате ее преобразования, получилось квадратичная форма $ds_1^2+ds_2^2$. В результате интегрирования уравнения $ds_1=Rd\varphi_1$ получим функцию $\varphi_1=[l_1(s_1)+l_2(s_2)]/R$, причем надо положить $l_2(s_2)=0$.
Ортогональная сетка на поверхности тела определяется с точностью до одной совокупности кривых, к которым строим ортогональные кривые, см. пОгорелов стр. 112, где пишется что одно семейство ортогональных линий может быть взято произвольно. Выбираем эту сетку, чтобы коэффициент при В, определяемый из формулы $Bds_1ds_2$, равнялся нулю. При этом $B=\frac{\partial^2 \sigma}{\partial s_1 \partial s_2}=0$, значит метрический интервал $\sigma$ должен быть равен $\sigma(s_1,s_2)=g(s_1)+h(s_2)$.
Т.е. построенное решение $\varphi_l(s_l)=s_l/R$, удовлетворяет этому свойству. При этом не понятно, как выбрать сетку огибающих, сферическая сетка не определяет независимые координаты.
ПРичем существует единственная сетка, обладающая этими свойствами. нУжно учесть одну особенность сеток. Они определены не для прямоугольной области определения. Поэтому их надо преобразовывать в прямоугольные области определения.
Со спектром Лапласиана я пока не читал, буду разбираться.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #422030 писал(а):

Возникает вопрос, какую другую ортогональную сетку выбрать, не сферическую, чтобы в результате ее преобразования, получилось квадратичная форма $ds_1^2+ds_2^2$

Никакую!! Сколько раз Вам можно объяснять! Никакой такой сетки нет и быть не может. Кривизна мешает!

evgeniy в сообщении #422030 писал(а):

Выбираем эту сетку, чтобы коэффициент при В, определяемый из формулы $Bds_1ds_2$, равнялся нулю.

Этот коэффициент уже равен нулю для стандартных сферических координат. Так что и это не спасает. И ничто не спасет. Против закона природы Вы бессильны.

[evgeniy]

Дело в том, что я имею в виду не гладкую относительно производной сетку, для которой теорема Гаусса не справедлива. И я уже много раз говорил об этом. Теорема Гаусса справедлива для регулярной сетки с регулярной параметризацией, см. ПОгорелов. И несмотря на то, что она вроде бы локальна, регулярную функцию можно продолжить по значению на отрезке, значит значения функции связаны.
Вы похожи на городового, который говорит, нельзя, не пущать. У каждой теоремы есть свои ограничения, и я надеюсь, что это мой случай, когда справедливы ограничения.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #422041 писал(а):

Дело в том, что я имею в виду не гладкую относительно производной сетку, для которой теорема Гаусса не справедлива.

Негладкую ВСЮДУ??
Да такие координаты Вы ввек не сочините, и формулу для Лапласиана не получите!!

А если негладкую только кое-где, то там, где она гладкая, уже Гаусс Вас остановит!

evgeniy в сообщении #422041 писал(а):

регулярную функцию можно продолжить по значению на отрезке

Куда можно, а куда и нет. А когда можно, то уже неоднозначно. Так что Ваше

evgeniy в сообщении #422041 писал(а):

значит значения функции связаны.

полная неправда. Очерредное Ваше измышление!
Вот у меня есть функция на отрезке (0,1)
$f(x)=x^2$. Ну и чему равно ее значение в точке 2?

evgeniy в сообщении #422041 писал(а):

Вы похожи на городового, который говорит, нельзя, не пущать.

Это не я, это законы математики так устроены, что в Вашу сторону дороги нет.

[evgeniy]

Аналитически продолжая эту функцию, получим фунцию $z^2$, и в точке равной 2, получим значение 4. Другое дело, не аналитическая функция двух переменных, но дело в том, что регулярная функция является аналитической, см. Смирнов, его у меня нет под рукой, но сноску об определении регулярной функции я Вам в понедельник напишу.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #422049 писал(а):

Аналитически продолжая эту функцию, получим фунцию $z^2$, и в точке равной 2, получим значение 4. Другое дело, не аналитическая функция двух переменных, но дело в том, что регулярная функция является аналитической, см. Смирнов.

Неверно. Ответ 2.
Вне отрезка она равна $8(x-1.5)^2$
С чего Вы взяли, что моя функция аналитическая вне (0,1)?
очередное ваше измышление.
А слово 'регулярная' функция имеет разный смысл в разных разделах.
В ТФКП - да, аналитическая, хотя устарело, теперь не используется.

А для дифф. геометрии - это дважды дифференцируемая.

[evgeniy]

Вы хотели меня обмануть с этим примером, думая, что я не догадаюсь что двумерные функции связаны. Первая производная функции $8(x-1.5)^2$, не совпадает на границе отрезка [0,1], с функцией $x^2$, следовательно не является ее продолжением. Раз вы говорите, что функция дважды дифференцируемая, то нужно выбрать пример $x^{n+1}+x^n,n>2$ и продолжать. В случае двух действительных переменных имеем точку соприкосновения отрезок. И продолжая с общей областью, как непрерывная функция, получим связь продолжаемой функции и заданной. Эта связь не однозначна, но существует. Значит значения функции двух переменных связаны.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #422062 писал(а):

Эта связь не однозначна, но существует. Значит значения функции двух переменных связаны.

Опять придумываете. Новое заблуждение.

Если связь неоднозначна, то ее нет!!
Связь есть только для аналитических функций.
А без аналитичности продолжить можно произвольным образом с сохранением непрерывности производных.
Например, возьмите совершенно ПРОИЗВОЛЬНУЮ дважды дифференцируемыю функцию $h(x)$ и задайте для $x>2$

$f(x)=x^2 +(x-1)^3h(x)$

И где Ваша хваленая связь?

[evgeniy]

Вы сами сказали, что регулярную функцию можно продолжить "куда можно, а куда и нет".
Раз есть общий отрезок в двумерном случае, да еще направленный не вдоль осей координат, то можно найти общую область для продолжаемой и продолжающей функции, и в этой области функции совпадают, и значит относительно этой области продолжение единственно и связь между двумерной регулярной функции в разных областях есть.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #422071 писал(а):

Раз есть общий отрезок

Что еще за общий отрезок? Не было такого.

evgeniy в сообщении #422071 писал(а):

относительно этой области продолжение единственно

Понятие 'продолжение относительно области' не определено.

evgeniy в сообщении #422071 писал(а):

связь между областями функции есть.

Что такое область функции?
Опять Вы против природы спорите.

Продолжение функции, с сохранением гладкости, неоднозначно. Медицинский факт.