Ряды

[bundos]

Вот ещё задачка: Пусть ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^na_n$, таков, что для него выполняется прищнак Лейбница. Пусть $b_n\sim a_n, n \to \infty$. Можно ли утверждать, что ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^nb_n$ сходится?
Т.к. $a_n\sim b_n$, то $0<b_n<2a_n, n>N(1)$. Рассматриваю ряд $\sum\limits_{n=N+1}^{\infty}(-1)^nb_n$, $|R_k|=\left|\sum\limits_{l=k+1}^{\infty}(-1)^lb_{l}\right|$. $b_n-b_{n+1}<2a_n$. Тогда $|R_k|<2\sum\limits_{l=k+1}^{\infty}a_l$. А про $|R_k|<2\sum\limits_{l=k+1}^{\infty}a_l$ неизвестно, он может и расходится. Подскажите, где я ошибаюсь? Пытался придумать $b_n$, чтобы $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^nb_n$ расходился, что-то не пошло.....

[bundos]

Ещё такой вопрос: Как посчитать $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac1{2^{n^2}}$?

[ИСН]

Второе никак, а первое делается путём прибавления чего-то маленького, но настойчивого. Скажем, $b_n={1\over\sqrt n}+{(-1)^n\over n}$.

[bundos]

Пусть $f(n)$- число единиц в двоичной записи числа $n$. Рассмотрим сумму $S=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{f(n)}{n+n^2}.$ Является ли $e^S$ рациональным числом?

[ИСН]

Это и про многие гораздо более просто описуемые числа неизвестно.

[bundos]

Хм... в ответе написано, что является

[ИСН]

Значит, эта штука сходится к чему-то банальному. Интересно, к чему. Надо подумать.

[bundos]

Думал свести к ряду типа $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}$, но $f(n)$ в числителе- очень противная штука.

[ИСН]

Думайте дальше. Направление верное.

-- Пт, 2011-03-11, 23:59 --

Как-то так:
$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{f(n)}{n+n^2}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}f(n)\left({1\over n}-{1\over n+1}\right)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}{f(n)-f(n-1)\over n}$

-- Сб, 2011-03-12, 00:00 --

Что это за хрень в числителе? Она равна:
1 на нечётных числах,
0 на чётных, но не делящихся на 4,
-1 на........

-- Сб, 2011-03-12, 00:01 --

Дальше надо упрощать, откусывая кусочки типа вожделенного $\ln2$, потом его половинку, четвертинку...
Дважды два - четыре.