2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Простые системы
Сообщение10.03.2011, 21:08 


03/10/10
102
Казахстан
Простенькая система: a,b,c,m,n,k - действительные и $a,b,c \geq 0$
$m+n+k=\sum\limits_{cyc} a(1+bc)$
$b=m-a^3$
$c=n-b^3$
$a=k-c^3$

Еще проще: $a_i,m,n$ - действительные числа
$a_1^{2012}+a_2^{2012}+...+a_{2011}^{2012}=2010m+2012n$
$a_1^{2011}+a_2^{2011}+...+a_{2011}^{2011}=2011m+2011n$
$a_1^{2010}+a_2^{2010}+...+a_{2011}^{2010}=2012m+2011n$


:roll: Простые, зато сам придумал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простые системы
Сообщение10.03.2011, 21:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
В (2): берём 2-ю производную от левой части по, эээ, году, и немедленно видим, что точек перегиба быть не может, и стало быть, мы остаёмся с вырожденным решением.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.03.2011, 13:24 


03/10/10
102
Казахстан
ИСН в сообщении #421582 писал(а):
В (2): берём 2-ю производную от левой части по, эээ, году, и немедленно видим, что точек перегиба быть не может, и стало быть, мы остаёмся с вырожденным решением.

А пробуйте проще, уверен у вас получится!
АХ, это моя ошибка... в 3ем уравнении 2ой системы правая часть : $...=2012m+2010n$

-- Пт мар 11, 2011 17:32:35 --

Ещё раз 2ая система:
$a_1^{2012}+a_2^{2012}+...+a_{2011}^{2012}=2010m+2012n$
$a_1^{2011}+a_2^{2011}+...+a_{2011}^{2011}=2011m+2011n$
$a_1^{2010}+a_2^{2010}+...+a_{2011}^{2010}=2012m+2010n$
ну чтоб долго не мучатся добавим: $a_i\not=0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Простые системы
Сообщение11.03.2011, 17:14 
Заслуженный участник


03/01/09
1711
москва
$a_i=1,m=n=\frac 12$

 Профиль  
                  
 
 Re: Простые системы
Сообщение12.03.2011, 11:36 
Заслуженный участник


03/01/09
1711
москва
2.Предположим,что только первые k неизвестных $a_i\ne  0$,вычтем 1-е ур-ие из 2-ого и 2-е из 3-его.Получим $$\sum _{i=1}^ka_i^{2011}(1-a_i)=m-n\qquad (1)$$ $$\sum _{i=1}^ka_i^{2011}(a_i^{-1}-1)=m-n\qquad (2)$$
Вычитаем из (2) уравнение (1):$$\sum _{i=1}^ka_i^{2011}(a_i+a_i^{-1}-2)=0.$$
Каждое слагаемое в полученной сумме $\geq 0$,причем равенство возможно только если $a_i=1$.Поэтому получаем,что $a_i=1,(i=1,\dots ,k),a_i=0$ для остальных $i$.
Подставляем эти значения $a_i$ в исходные уравнения,находим $m=n=\frac k{4022}$.Придавая $k$ значения от 0 до 2011 получим все решения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простые системы
Сообщение12.03.2011, 13:49 


03/10/10
102
Казахстан
mihiv в сообщении #422037 писал(а):
2.Предположим,что только первые k неизвестных $a_i\ne  0$,вычтем 1-е ур-ие из 2-ого и 2-е из 3-его.Получим $$\sum _{i=1}^ka_i^{2011}(1-a_i)=m-n\qquad (1)$$ $$\sum _{i=1}^ka_i^{2011}(a_i^{-1}-1)=m-n\qquad (2)$$
Вычитаем из (2) уравнение (1):$$\sum _{i=1}^ka_i^{2011}(a_i+a_i^{-1}-2)=0.$$
Каждое слагаемое в полученной сумме $\geq 0$,причем равенство возможно только если $a_i=1$.Поэтому получаем,что $a_i=1,(i=1,\dots ,k),a_i=0$ для остальных $i$.
Подставляем эти значения $a_i$ в исходные уравнения,находим $m=n=\frac k{4022}$.Придавая $k$ значения от 0 до 2011 получим все решения.

А ещё можно сложить 1ое и 3ее и отнять домноженное на два 2ое: правая часть сократится, а слева выделить 2011 полных квадратов, откуда $a_i=0;1$ :D

Осталась 1ая система, но она тоже простая.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Bing [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group