Простые системы

[Simba]

Простенькая система: a,b,c,m,n,k - действительные и $a,b,c \geq 0$
$m+n+k=\sum\limits_{cyc} a(1+bc)$
$b=m-a^3$
$c=n-b^3$
$a=k-c^3$

Еще проще: $a_i,m,n$ - действительные числа
$a_1^{2012}+a_2^{2012}+...+a_{2011}^{2012}=2010m+2012n$
$a_1^{2011}+a_2^{2011}+...+a_{2011}^{2011}=2011m+2011n$
$a_1^{2010}+a_2^{2010}+...+a_{2011}^{2010}=2012m+2011n$


Простые, зато сам придумал.

[ИСН]

В (2): берём 2-ю производную от левой части по, эээ, году, и немедленно видим, что точек перегиба быть не может, и стало быть, мы остаёмся с вырожденным решением.

[Simba]

ИСН в сообщении #421582 писал(а):

В (2): берём 2-ю производную от левой части по, эээ, году, и немедленно видим, что точек перегиба быть не может, и стало быть, мы остаёмся с вырожденным решением.

А пробуйте проще, уверен у вас получится!
АХ, это моя ошибка... в 3ем уравнении 2ой системы правая часть : $...=2012m+2010n$

-- Пт мар 11, 2011 17:32:35 --

Ещё раз 2ая система:
$a_1^{2012}+a_2^{2012}+...+a_{2011}^{2012}=2010m+2012n$
$a_1^{2011}+a_2^{2011}+...+a_{2011}^{2011}=2011m+2011n$
$a_1^{2010}+a_2^{2010}+...+a_{2011}^{2010}=2012m+2010n$
ну чтоб долго не мучатся добавим: $a_i\not=0$

[mihiv]

$a_i=1,m=n=\frac 12$

[mihiv]

2.Предположим,что только первые k неизвестных $a_i\ne 0$,вычтем 1-е ур-ие из 2-ого и 2-е из 3-его.Получим

$$\sum _{i=1}^ka_i^{2011}(1-a_i)=m-n\qquad (1)$$

$$\sum _{i=1}^ka_i^{2011}(a_i^{-1}-1)=m-n\qquad (2)$$

Вычитаем из (2) уравнение (1):

$$\sum _{i=1}^ka_i^{2011}(a_i+a_i^{-1}-2)=0.$$

Каждое слагаемое в полученной сумме $\geq 0$,причем равенство возможно только если $a_i=1$.Поэтому получаем,что $a_i=1,(i=1,\dots ,k),a_i=0$ для остальных $i$.
Подставляем эти значения $a_i$ в исходные уравнения,находим $m=n=\frac k{4022}$.Придавая $k$ значения от 0 до 2011 получим все решения.

[Simba]

mihiv в сообщении #422037 писал(а):

2.Предположим,что только первые k неизвестных $a_i\ne 0$,вычтем 1-е ур-ие из 2-ого и 2-е из 3-его.Получим

$$\sum _{i=1}^ka_i^{2011}(1-a_i)=m-n\qquad (1)$$

$$\sum _{i=1}^ka_i^{2011}(a_i^{-1}-1)=m-n\qquad (2)$$

Вычитаем из (2) уравнение (1):

$$\sum _{i=1}^ka_i^{2011}(a_i+a_i^{-1}-2)=0.$$

Каждое слагаемое в полученной сумме $\geq 0$,причем равенство возможно только если $a_i=1$.Поэтому получаем,что $a_i=1,(i=1,\dots ,k),a_i=0$ для остальных $i$.
Подставляем эти значения $a_i$ в исходные уравнения,находим $m=n=\frac k{4022}$.Придавая $k$ значения от 0 до 2011 получим все решения.

А ещё можно сложить 1ое и 3ее и отнять домноженное на два 2ое: правая часть сократится, а слева выделить 2011 полных квадратов, откуда $a_i=0;1$

Осталась 1ая система, но она тоже простая.