Алгоритм вычисления квадратного корня...

[AchilleS]

Здравствуйте, господа! Часто в пробных вступительных тестах (особенно в ГУ-ВШЭ) попадаются примеры типа (1,08)^0,5 . И надо приблизительно высчитать значение выражения (до сотой, по-моему). НО это не так важно. Я как-то видел способ, когда по 2 цифры с конца отделяют и берут ближайшие квадраты (с начала, естественно) и т.д.
Не могли бы Вы рассказать о других, возможно, более быстрых (ведь все на время) способах. Или дайте ссылку на соответствующую литературу в нете. Заранее спасибо!

[maxal]

Вот например: http://kvant.mccme.ru/1987/03/staryj_algoritm.htm

[AchilleS]

2 maxal
Спасибо! А доказательство этому способу есть?? Дайте ссылку, пожалуйста.
И еще, там написано, что есть способы извлечения корней и 3-ей, и 4-ой, и других степеней. Существеут ли общий метод??

[e2e4]

Может быть еще кто-то пояснит, зачем такие примеры даются на вступительных и экзаменационных задачах? Проверить общую эрудицию абитуриента? Проверить как он умеет следовать заданному алгоритму вычислений, как компьютер? Не понимаю.

Когда я учился в вузе (техническом кстати), нам на всех экзаменах (по-моему даже вступительных) разрешали пользоваться калькулятором, а на кафедре физики вообще была традиция - разрешалось использовать собственный конспект и (не помню точно) вроде даже учебник. Потому что проверяли думалку и знания по теме - сумел воспользоваться учебником - молодец. Все равно ведь видно, кто знает тему а кто просто что-то надергал в ходе экзамена.

[AchilleS]

Абсолютно согласен!! Но таковы настоящие условия, и сделать ничего нельзя (( . В любом случае, надо как-то выходить из положения и решать предлагаемые задачи!

[Yuri Gendelman]

AchilleS писал(а):

Часто в пробных вступительных тестах (особенно в ГУ-ВШЭ) попадаются примеры типа (1,08)^0,5 . И надо приблизительно высчитать значение выражения (до сотой, по-моему).

Для данного конкретного примера используется приближение
$\sqrt{1+x} \approx 1 + \frac{x}{2}$ при $x \ll 1$
Метод извлечения квадратного корня, описанный в статье, которую порекомендовал maxal, раньше изучался в средней школе.
Насчет "зачем это нужно" - вопрос конечно интересный. Я лично не помню, чтобы "в реале" пользовался этим методом. Не удивлюсь, если лет через 10-20 появятся вопросы типа "а зачем уметь считать интегралы, если в моем наручном коммуникаторе есть встроенная Mathematica 20.0?"

[maxal]

если бы меня сейчас заставили вручную извлекать корень (квадратный или даже n-й степени), я бы просто воспользовался итерационным методом Ньютона:
http://mathworld.wolfram.com/NewtonsIteration.html

[Антипка]

maxal писал(а):

если бы меня сейчас заставили вручную извлекать корень (квадратный или даже n-й степени), я бы просто воспользовался итерационным методом Ньютона:
http://mathworld.wolfram.com/NewtonsIteration.html

Дело, конечно, твое, но непонятно - зачем? Описанный алгоритм существенно менее трудоемкий, по сложности от соответствует одному делению. Ну, может, чуть сложнее, потому как по сути представляет собой метод "адаптивного деления", т.е. делитель корректируется по ходу процесса. В метод Ньютона тебе, скорее всего, придется сделать не менее трех итераций, а возможно и больше, чтобы гарантировать параметры погрешности.

Понятно, что это касается только квадратного корня. Для корней иных степеней (не являющихся степенью 2) аналогичный алгоритм составить можно, но он будет достаточно сложным, записать процесс извлечения корня на бумаге так же просто, как и для квадратного корня, будет невозможно. Но если мне понадобится посчитать корень такой степени вручную с точностью не более 3-4 знаков, я, скорее всего, попытаюсь сделать это через логарифмы, воспользовавшись таблицами Брадиса или - о ужас - логарифмической линейкой.

[maxal]

Антипка писал(а):

maxal писал(а):

если бы меня сейчас заставили вручную извлекать корень (квадратный или даже n-й степени), я бы просто воспользовался итерационным методом Ньютона:
http://mathworld.wolfram.com/NewtonsIteration.html

Дело, конечно, твое, но непонятно - зачем?

Затем, что обоснование метода Ньютона тривиальное и этот метод очень легко вывести, даже если забыл его итерационную формулу. Помимо этого он обладает квадратичной сходимостью ( грубо говоря, точность удваивается с каждой итерацией), что очень не плохо.
Других алгоритмов извлечения корней я просто не помню (ибо нафиг не надо), и не собираюсь за-/вc- поминать.

[e2e4]

Цитата:

(1,08)^0,5

А по-моему, это просто пример на умение пользоваться приближенными вычислениями, используя определение дифференциала и приращения функции. Этот вопрос - имхо хороший.

[Brukvalub]

e2e4 писал(а):

...А по-моему, это просто пример на умение пользоваться приближенными вычислениями, используя определение дифференциала и приращения функции. Этот вопрос - имхо хороший.

Перефразируя известное изречение В.И.Ленина, скажу: Всякое приближенное вычисление лишь тогда чего-нибудь стоит, когда есть возможность оценить его точность. А замена приращения функции ее дифференциалом является типичным примером "плохого" приближенного вычисления, поскольку сам принцип такой замены не дает возможности оценить точность приближения. Более того, этот порочный подход еще и прививает учащемуся порочную идеологию приближенных вычислений: приблизь неизвестное число как-нибудь чем-нибудь похожим, а об совершенной при этом ошибке вычислений можешь не беспокоиться - ведь твой метод в принципе не позволяет ее найти. Безобразие! С таким подходом нужно вести последовательную и беспощадную борьбу!

[ИСН]

Я в таких случаях люблю пересказывать Юрия Нестеренко, "Плющ на руинах", конкретно тот эпизод, когда два мужика с факелами стоят в подземелье перед запертой дверью, и чтобы выжить, им нужно число e до десятого знака, а они его не помнят, ну и давай считать.

[Brukvalub]

ИСН писал(а):

Я в таких случаях люблю пересказывать Юрия Нестеренко, "Плющ на руинах", конкретно тот эпизод, когда два мужика с факелами стоят в подземелье перед запертой дверью, и чтобы выжить, им нужно число e до десятого знака, а они его не помнят, ну и давай считать.

Если при таком счете использовать значение в 1 разложения экспоненты в степенной ряд, то нетрудно эффективно оценить точность приближения числа е для любой частичной суммы этого ряда, поэтому пример "не катит". Кстати, кафедрой теории чисел на мех-мате МГУ в настоящее время заведует член-корреспондент РАН Нестеренко Юрий Валентинович- это случайное совпадение имени и фамилии?

[maxal]

Наверное, речь идет про другого Нестеренко: http://yun.complife.ru/

[e2e4]

Цитата:

А замена приращения функции ее дифференциалом является типичным примером "плохого" приближенного вычисления, поскольку сам принцип такой замены не дает возможности оценить точность приближения.

Признайтесь, вы сами придумали то, что оценить погрешность приближенных вычислений, выполненных с использованием полного дифференциала функции, невозможно?

И потом, данный метод дает некоторым студентам более глубокое понимание дифференциального счисления .