Эквивалентные функции на бесконечности

[swact]

Подскажите, где можно почитать про эквивалентные на $+\infty$ функции? Например какая функция эквивалентна $ln(x), e^x,$ если $x\to+\infty$?
Просто решая пример, я никак не могу понять, почему функция $\frac {e^(^x^)-e^s^i^n^(^x^)}{(ch^2(x)-cos^2(x))^a}$ эквивалентна функции $\frac {const}{e^(^2^a^-^1^)^x}$ если $x\to+\infty$, где $a$ - параметр. Здесь используется какое-то хитрое разложение по Тейлору?

[ИСН]

Потому что их отношение стремится к единице. Пределы считать умеете?

[swact]

Ну хорошо, а каким образом подбирается такая функция? Есть ли какой то четкий алгоритм для ее поиска?

[ИСН]

Какая "такая"? Если нужно сравнить две функции, то ничего подбирать не надо; но Вы, видимо, говорите о каком-то другом типе задач. О каком же?

[swact]

Ну например, мне несовсем очевидно, каким образом к функции$\frac {e^(^x^)-e^s^i^n^(^x^)}{(ch^2(x)-cos^2(x))^a}$ подобрали эквивалентную $\frac {const}{e^(^2^a^-^1^)^x}$. Я не спорю что она эквивалентная, и вижу что их отношение в пределе равно единице, но сам бы никогда не догадался взять именно ее.

[Sonic86]

swact писал(а):

Ну например, мне несовсем очевидно, каким образом к функции$\frac {e^x-e^{\sin (x)}}{(ch^2(x)-cos^2(x))^a}$ подобрали эквивалентную $\frac {const}{e^{(2a-1)x}}$. Я не спорю что она эквивалентная, и вижу что их отношение в пределе равно единице, но сам бы никогда не догадался взять именно ее.

Обычно задаются элементарные функции и при поиске эквивалентной функции используются стандартные эквивалентные бесконечно малые + упрощается выражением. Например $e^{\sin x}$ ограниченна - ее выкидывают просто. Гиперкосинус упрощают по определению до экспоненты и $e^{-x}$ выкидывают.
Простое правило: если $f(x) = u(x)+v(x)$ и $\lim\limits_{x \to +\infty}\frac{v(x)}{u(x)}=0$, то $f(x) \sim u(x)$.

(Оффтоп)

наведите мышкой на формулы и посмотрите, как они пишутся

[swact]

Sonic86
И $cos^2(x)$ тоже выкидывают в силу ограниченности, верно?

[Sonic86]

Верно

[swact]

И еще, помогите пожалуйста разобраться с логарифмом функии $\frac {ln(1+x+x^2)}{x^{\frac {1}{3}}}$
чему эквивалентен числитель при $x\to +\infty$
Если используются "стандартные эквивалентные бесконечно малые", то получается, что числитель эквивалентен $x+x^2$??

АКМ:

swact, кодируйте функции так: \cos^2 x, \ln x .
Будет выглядеть ещё прикольнее.

[Sonic86]

swact писал(а):

Если используются "стандартные эквивалентные бесконечно малые", то получается, что числитель эквивалентен $x+x^2$??

Не-а! Напишите здесь используемую эквивалентность и внимательно на нее посмотрите. Использовать здесь нужно все-таки именно ее, но не так.

[swact]

Что-то ничего мне в голову не приходит... Разве что положить $t=\frac{1}{x}$ и получить в числителе $\frac {1}{t}+\frac {1}{t^2}$?

[Sonic86]

Положите

[swact]

получилось вся дробь эквивалентна $x^{2/3}$?

[Sonic86]

Нет конечно, напишите вычисление целиком.

[swact]

Хорошо. Пусть $x=\frac {1}{t}$, где $t \to +\infty$ Тогда $f(t)=\frac {\frac {1}{t}+o(\frac {1}{t})}{\frac {1}{t^\frac{1}{3}}}=t^\frac{-2}{3}+o(t^\frac{-2}{3})=$
Теперь делаем обратную замену: $f(x)=x^\frac{2}{3}+o(x^\frac{2}{3})\sim {x^\frac {2}{3}}$

Или надо было раскладывать до большего порядка малости?