Скорость при круговом движении от центра к окружности

[Diman4000]

Помогите решить задачу: Надо найти скорость движения шара от центра вращающегося диска к окружности (по принципу центробежного насоса). На диске стоит планка от центра к краю диска, по ней и движется шар, трением можно пренебречь. Скорость по касательной вычислить не трудно, но как вычислить скорость перпендикулярно касательной. Ускорение квадратично радиусу - т.е. это не равноускоренное движение. Охота получить общее решение в зависимости от оборотов и радиуса диска.

[BISHA]

Diman4000 в сообщении #421099 писал(а):

Надо найти скорость движения шара от центра вращающегося диска

Скорость вдоль планки постоянна, а скорость перпендикулярная планке - через угловую скорость и расстояние до центра. Результирующая скорость - векторная сумма этих двух скоростей.

[Diman4000]

В том-то и вопрос, что скорость вдоль планки не постоянна, а увеличивается. Вопрос как ее определить?

[Diman4000]

С тангенсальной скоростью (перпендикулярной планке, по касательной к окружности) понятно:

$v=2\pi \nu R$ ,где
$\nu$ - частота вращения диска,
$R$ – радиус диска

А вот с центростремительной скоростью (вдоль планки) не все просто. Это ускоренное движение, причем ускорение возрастает от центра к краю диска. Если взять центр координат в центре диска, то можно считать что движение равномерно. тогда будет действовать обычное уравнение для прямолинейного движения:
$S=\frac {at^2} 2 +vt$, где
$S$ – пройденное расстояние, оно же будет равно R;
$a$ – ускорение, которое в свою очередь зависит от радиуса;
$t$ – время.
ускорение в предыдущей формуле можно будет определить по формуле:

$a= 4\pi^2\nu^2R$,где
$\nu$ - частота вращения диска,
$R$ – радиус диска

Получается:

$R=\frac {4\pi^2\nu^2Rt^2} 2+vt$

А как посчитать дальше?

[ewert]

Diman4000 в сообщении #421355 писал(а):

А как посчитать дальше?

Никак. Надо просто составить дифференциальное уравнение: $a=\omega^2 r$, т.е $r''(t)=\omega^2 r(t)$. Общее решение: $r(t)=C_1e^{\omega t}+C_2e^{-\omega t}$. Произвольные постоянные $C_1$ и $C_2$ находятся из начальных условий -- начального положения и начальной скорости. Если вначале шарик покоился в центре диска, то выйдет $C_1=C_2=0$, т.е. он так и будет оставаться в центре. Естественно.

[Diman4000]

Про центр диска согласен, хоть равновесие и неустойчивое, но равновесие. И как будет тогда выглядеть решение более конкретной задачи: в начале шарик расположен на радиусе 26 мм, радиус диска 273 мм, количество оборотов диска 2378 об/мин. Вопрос чему равна скорость вдоль планки на краю диска?

[ewert]

Ну решите это уравнение иначе:

$r'(t)\equiv v(r),\quad r''(t)=v'(r)\cdot r'(t)=v'v,\quad \dfrac{dv}{dr}\,v=\omega^2r^2,\quad v\,dv=\omega^2r\,dr.$

Общее решение: $v^2(r)=\omega^2r^2+C$. Подгоняйте константу под начальное условие и считайте.

[kolas]

ewert в сообщении #421422 писал(а):

Общее решение: $v^2(r)=\omega^2r^2+C$. Подгоняйте константу под начальное условие и считайте.

Не большое уточнение, эта скорость получится в системе отчета связанной с планкой.