Теорема Гаусса для полей Янга - Миллса

[type2b]

Встречается, например, если у вас есть присоединенный хиггс, у которого вакуумное среднее. И вам нужно написать теорему Гаусса для U(1) компоненты, которая не нарушена. В таком случае в ковариантном виде она выглядит так, как я написал. Это бывает нужно, когда обсуждаются всякие классические решения типа монополи-струны. Может быть, в книжке Рубакова вы такое найдете, не помню.
Про то, к чему тут висящие индексы, уже верно ответили.

[myhand]

type2b в сообщении #420838 писал(а):

Может быть, в книжке Рубакова вы такое найдете, не помню.

Не припоминаю там такого.

Соответственно, не совсем понятно почему это лучшее обобщение т.Гаусса, чем предложенное ранее. Да, это не будет калибровочно инвариантно. Ну и что - вон в ОТО есть псевдо-ТЭИ. Как раз подобным образом возникает.

Каков физический смысл $\phi$?

type2b в сообщении #420838 писал(а):

Про то, к чему тут висящие индексы, уже верно ответили.

Верно, но не к месту. Нету в первой формуле здесь висящих индексов.

[type2b]

Рубаков старое издание, пар. 9.2 "Магнитный заряд".

Висящий цветовой индекс есть в неабелевом случае ($F^a$). Если вы зафиксируете калибровку, или вставите правильную вильсоновскую линию, то тогда можно интегрировать, конечно. В абелевом случае все нормально.

[myhand]

type2b в сообщении #420861 писал(а):

Рубаков старое издание, пар. 9.2 "Магнитный заряд".

Таки не вижу там упоминания о т.Гаусса (у меня издание 1999 года, но уверен что это непринципиально).

type2b в сообщении #420861 писал(а):

В абелевом случае все нормально.

Что я и повторял выше. post419352.html#p419352 - первая формула написана именно в расчете на абелев случай. Можно обобщить как я писал ранее (там я цветовые индексы не писал) - результат, конечно, не будет калибровочно инвариантным (в отличие от Вашего подхода). Но, насколько я понимаю, так тоже делают - и здесь есть аналогия с псевдо-ТЭИ в ОТО (см. например Коноплева & Попов "Калибровочные поля" (1972), стр 31). Аналогия буквальная в общем-то. ОТО - тоже калибровочная теория.

[Munin]

myhand в сообщении #420846 писал(а):

Каков физический смысл $\phi$?

Это некий аналог вектора Киллинга.

[type2b]

Теорема Гаусса (правда дуальная) у Рубакова в самом определении магнитного заряда.
Я не говорю, что какое-то определение того, что такое теорема Гаусса, лучше. Просто написал еще одно, которое встречается.
Поле $\phi$ -- просто скалярное поле, никаких глубоких аналогий с вектором Киллинга нет, просто я хотел сказать, что чтобы ковариантно проинтегрировать, часто надо домножить на чего-то дополнительное, удовлетворяющее некоторому уравнению ковариантного постоянства. Вот и вся аналогия.
Моя версия т. Гаусса нужна, чтобы в теории с присоединенным хиггсом магнитный и электрический заряды классического решения выражать через интеграл от чего-то типа $F$ :)

Прямой аналогии с ОТО не вижу. Надо заменять F на тензор кривизны, а не энергии-импульса. На первый взгляд похоже на Komar integral, но все-таки не то.

И ОТО, как вы понимаете, это в общем случае не то же самое, что калибровочная теория.

[Munin]

type2b в сообщении #420919 писал(а):

никаких глубоких аналогий с вектором Киллинга нет

Ну как это? Для заданного поля такую функцию ещё поискать.

[myhand]

type2b в сообщении #420919 писал(а):

что чтобы ковариантно проинтегрировать, часто надо домножить на чего-то дополнительное

Чтобы "ковариантно" - ни на что домножать в неабелевом случае не нужно. Вот чтобы калибровочно-инвариантно - нужно. Это просто для ОТО калибровочная свобода связана как раз с произволом в системе координат. В общем случае - вещи разные.

type2b в сообщении #420919 писал(а):

И ОТО, как вы понимаете, это в общем случае не то же самое, что калибровочная теория.

Это одна из. Так что нет - "то же самое".

Munin в сообщении #420973 писал(а):

Для заданного поля такую функцию ещё поискать.

Для заданной калибровочной группы и поля Вы хотели сказать.

Кстати - в ОТО точно также. Векторы Киллинга под ногами не валяются.

[type2b]

Ковариантно с т.з. расслоения, разумеется.

Под калибровочной теорией я понимаю теорию, где единственной динамической переменной является связность, скажем, в главном расслоении. Как переписать ОТО как такую теорию (кроме d=3)?
Там кроме связности локальной лоренцевой симметрии есть еще метрика или vielbein.

[Munin]

myhand в сообщении #420979 писал(а):

Для заданной калибровочной группы и поля Вы хотели сказать.

I presume the theory as given.

type2b в сообщении #420994 писал(а):

Под калибровочной теорией я понимаю теорию, где единственной динамической переменной является связность, скажем, в главном расслоении.

Круто. А она с вами согласна?

[type2b]

А с чем Вы не согласны? Ну добавьте туда еще сечений всяких ассоциированных расслоений (материю).

[Munin]

Нельзя ли привести изоморфное определение из литературы, где бы тоже присутствовало это ограничение "единственной"?

[ИгорЪ]

Магнитный монополь, обсуждаемый у Рубакова - это анзац, специфическое бесцветное решение, системы двух полей, ЯМ и Хиггса. Переносить его особенности на общий случай некорректно. Не вижу ничего запретного в существовании цветных решений и несвернутом индексе в предложенной т. Гаусса.

[Munin]

Ну не видите и не видите, это ваши проблемы. Зачем при этом самоуверенно несусветную чушь городить?

[type2b]

Думаю, мы все знаем, что называют калибровочной теорией, не хочу спорить об определениях.
Просто я хотел сказать, что если в гравитации связность сделать независимой динамической переменной, при этом оставить метрический тензор или тетраду как другую независимую переменную, то это мероприятие еще нельзя называть "переписали гравитацию как калибровочную теорию".
Насколько мне известно, формулировка гравитации как калибровочной теории существует только в d=3. В этом случае это Черн-Саймонс с группой, вроде, $SL(2,\mathbb{C})$, которая, заметьте, больше группы Лоренца в d=3. Калибровочное поле в этом случае будет составлено из спин-связности И dreibein. Такая формулировка работает только в отсутствие материи.
Других работающих формулировок гравитации как калибровочной теории мне неизвестно.