Решение задач из учебника Кострикина

[Padawan]

Если по простому, то берем и все вычисления проводим в символьном виде, считая, что коэффициенты матрицы -- буквы. Там будут при вычислениях дроби появляться (определитель в знаменателе). Но цепочка, которую Вы написали остается корректной, так как правила, которые Вы используете, верны в общем случае.

[Diom]

Цитата:

Я тут всё-таки подумал....

К аналогичным выводам пришел и я. Наверное я неправ, но от использования предельных переходов в алгебре без острой на то необходимости меня коробит. Я понимаю, что порой это наиболее простой способ что-то доказать. Так что будем считать это моим бзиком

Вот еще одна уже не столь тривиальная задачка:
Пусть $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ произвольная функция с условием $f\left(0\right)=0$.
Доказать что существует и притом только одна функция $D:M_{n}\left(R\right)\rightarrow\mathbb{R}$ ($M_{n}\left(R\right)$ - квадратные матрицы $n\times n$), обладающая свойствами:
1) Если A содержит столбец нулей то $D\left(A\right)=0$ .
2) Если A' получается из A элементарными преобразованиями типа II (прибавление к i-ому столбцу j-го столбца умноженного на произвольный коэффициент. при этом i не равно j), то $D\left(A'\right)=D\left(A\right)$.
3) Если $A=diag\left(\lambda,1,1,\cdots,1\right)$ то $D\left(A\right)=f\left(\lambda\right)$. При этом, если $f\left(\lambda\right)=\lambda$, то $D\left(A\right)=det\left(A\right)$.

На мой взгляд, идея доказательства должна состоять в том, чтобы привести некоторую произвольную матрицу к виду $A'=diag\left(\lambda,1,1,\cdots,1\right)$, причем такими действиями, которые бы не изменили значение функции D. Но увы не могу сообразить как такое можно сделать. Даже рассматривая функцию D лишь на множестве невырожденных диагональных матриц это мне не представляется возможным.
Будь функция D хотя бы полилинейной, но ведь и это в общем случае тоже не так (из 3 свойства следует что D неполилинейна).
Может намекнете как такое доказать?

[Null]

Как доказать что вышеуказанными преобразованиями $\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}$ не привести к виду $\begin{pmatrix}4&0\\0&1\end{pmatrix}$ ?

[Diom]

Так оно и понятно что не получится - вектора то линейно независимы потому и никакая комбинация вектор-столбцов, не включающая i столбец не даст, i столбец умноженный на какой нить коэффициент. От того и непонятно как решать данную задачу.

[Diom]

Вот интересно где в моих рассуждениях ошибка: определим функции $D_1$ и $D_2$ алгоритмически. Для вырожденных матриц $D_1=0$ и $D_2=0$. Для невырожденной матрицы $A=\left[a_{ij}\right]$ мы определим значение функций следующим образом: приводим посредством правила 2 матрицу $A$ к диагональному виду $A'=\left[a'_{ij}\right]$ (это всегда возможно). Этот вид единственный и не зависит от способа приведения (при использовании лишь операция II типа), т.е. это свойство матрицы $A$. Определим первую функцию как $D_{1}\left(A\right)=f\left(a'_{11}\right)a'_{22}\cdots a'_{nn}$, а вторую $D_{2}\left(A\right)=f\left(a'_{11}\right)a'^2_{22}\cdots a'^2_{nn}$.
Получаются две различные функции удовлетворяющие вышеуказанным требованиям.
ПС: сдается мне ошибка в единственности приведения...

[Diom]

Решил сформулировать все сказанное более четко. Проверьте пожалуйста мои выводы.

Обозначим подмножество всех диагональных матриц $n\times n$ как $Md_n$
Лемма 1. Пусть $A'=AF$, причем $A=\left[a_{ij}\right]\in Md_{n}$ и $A'\in Md_{n}$. Тогда имеет место утверждение: $\left(det\left(A\right)\neq0\right)\Rightarrow\left(F\in Md_{n}\right)$.
Действительно если $det\left(A\right)\neq0$, то все элементы матрицы не равны равны нулю. Так как i-ая строка матрицы $A'$ есть $A'_{\left(i\right)}=\sum_{j}F{}_{\left(i\right)}a_{ij}=F{}_{\left(i\right)}a_{ii}$, то $F$ является диагональной матрицей, ч.т.д.

Введем обозначение $F_{s,t}\left(\lambda\right)=\left[f_{ij}\right]=\left[\begin{array}{cccccc}1\\ & \ddots\\ & & 1\\ & & \vdots & \ddots\\ & & \lambda\\ & & & & & 1\end{array}\right]$, где $s\neq t$. (единичная матрица с коэффициентом $f_{st}=\lambda$).

Замечание 1: Очевидно, что умножение $AF_{s,t}$ равносильно преобразованию II типа матрицы$A$, а именно прибавление к t-ому столбцу матрицы $A$ s-го столбца умноженного на $\lambda$.

Лемма 2. Имеет место утверждение ${\displaystyle \left(\prod_{i}^{k}F_{s_{i},t_{i}}\left(\lambda_{i}\right)\in Md_{n}\right)\Rightarrow\left(\prod_{i}^{k}F_{s_{i},t_{i}}\left(\lambda_{i}\right)=E\right)}$, где E - единичная матрица.
Доказательство: пока не смог придумать, но почти уверен что так оно и есть. Буду признателен если подскажете как это доказать

Будем говорить что матрица $A$ находится в отношении к $A'$ если существует группа преобразований II типа приводящая $A'$ к $A$ . Очевидно, что это отношение является отношением эквивалентности (в виду обратимости операций II типа).

Лемма 3. Пусть $A\in Md_{n}$ и $A'\in Md_{n}$, причем $det\left(A\right)\neq0$ и $A\thicksim A'$. Тогда имеет место утверждение: $A=A'$.
Действительно в силу замечания 1 совокупность преобразований II типа можно свести к последовательному умножению матрицы $A$ справа на $\prod_{i}^{k}F_{s_{i},t_{i}}\left(\lambda_{i}\right)$. Но в силу леммы 1 имеет место $\prod_{i}^{k}F_{s_{i},t_{i}}\left(\lambda_{i}\right)\in Md_{n}$, а следовательно в силу леммы 2 и $\prod_{i}^{k}F_{s_{i},t_{i}}\left(\lambda_{i}\right)=E$, что означает $A'=AE=A$, ч.т.д.

Таким образом множество всех квадратных матриц распадается на множество непересекающихся подмножеств эквивалентных друг другу матриц, причем если в подмножестве содержится невырожденная матрица, то такое подмножество содержит не более одной диагональной матрицы.

Определим функции $D_1$ и $D_2$ следующим образом:
1) $\left(A\sim diag\left(b_{11}\cdots b_{nn}\right)\right)\Rightarrow\left(D_{1}\left(A\right)=f\left(b_{11}\right)b_{22}\cdots b_{nn}\right)\wedge\left(D_{2}\left(A\right)=f\left(b_{11}\right)\left(b_{22}\cdots b_{nn}\right)^{2}\right)$ (где $f(x)$ определено в постановке задачи);
2)$\forall B\in Md_{n}\left(B\nsim A\right)\Rightarrow\left(D_{1}\left(A\right)=0\right)\wedge\left(D_{2}\left(A\right)=0\right)$.

Очевидно, что обе эти функции удовлетворяют требованиям:
Требование 1: если в $A$ существует нулевой столбец то и в любой диагональной матрице эквивалентной $A$ тоже имеется нулевой столбец (ранги эквивалентных матриц совпадают) и потому по (1) $D_1(A)=0$ и $D_2(A)=0$, если же матрица $A$ неэквивалентна никакой диагональной матрице то по (2) $D_1(A)=0$ и $D_2(A)=0$.
Требование 2: удовлетворяется по определению;
Требование 3: проверяется непосредственно.

А потому приведенные функции выступают в качестве контрпримера к приведенной задаче.

[Leox]

Ваша задача есть не что иное как Теорема 2, стр. 113 (издание 1977 года) учебника Кострикина.

[Diom]

Цитата:

Ваша задача есть не что иное как Теорема 2, стр. 113 (издание 1977 года) учебника Кострикина.

Вы про эту задачу?:

Цитата:

Доказать что существует и притом только одна функция

Если да, то не могли бы вы сформулировать эту теорему (ну или хотя бы ее часть)? Моя книга 2009 года издания и страницы там явно не совпадают.

Но даже если и так, то все равно остается вопрос - где же тогда моя ошибка? Т.е. где ошибка в моем предыдущем посту, в котором я доказал (исключая лемму 2) существование двух различных функций удовлетворяющих предъявленным требованиям?

[Diom]

Что-то замучился я придумывать доказательство этой леммы:

Цитата:

Лемма 2. Имеет место утверждение ${\displaystyle \left(\prod_{i}^{k}F_{s_{i},t_{i}}\left(\lambda_{i}\right)\in Md_{n}\right)\Rightarrow\left(\prod_{i}^{k}F_{s_{i},t_{i}}\left(\lambda_{i}\right)=E\right)}$, где E - единичная матрица.

Ведь наверняка должно быть довольно простое доказательство. Речь, по сути, идет о том, что невырожденная диагональная матрица посредством операций II типа не может быть приведена к другой диагональной матрице. Может у кого есть какие нибудь идеи как это доказать? Ну или опровергнуть.

ПС: Если я где-то плохо выразил свою мысль, что либо непонятно обозначил, то скажите... а то какой-то монолог с самим собой получается

-- Вт мар 08, 2011 19:30:58 --

Всем спасибо. Только что придумал контрпример к этой лемме. Все-таки можно привести.
Null, спасибо за подсказку

[ewert]

Diom в сообщении #420769 писал(а):

Ведь наверняка должно быть довольно простое доказательство.

Вряд ли. Доказательство просто не требуется: ведь при перемножениях таких матриц элементы на (и выше) диагонали просто не меняются.

-- Вт мар 08, 2011 19:38:19 --

Да, и уж заодно:

Diom в сообщении #420324 писал(а):

Обозначим подмножество всех диагональных матриц $n\times n$ как $Md_n$
Лемма 1. Пусть $A'=AF$, причем $A=\left[a_{ij}\right]\in Md_{n}$ и $A'\in Md_{n}$. Тогда имеет место утверждение: $\left(det\left(A\right)\neq0\right)\Rightarrow\left(F\in Md_{n}\right)$.

Собственно, Вы пытаетесь доказать, что обратная к диагональной матрица будет диагональной и что произведение диагональных матриц также диагонало. Что ж, докажем.

Доказательство. Тривиально. Ч.т.д.

[Diom]

ewert в сообщении #420787 писал(а):

Вряд ли. Доказательство просто не требуется: ведь при перемножениях таких матриц элементы на (и выше) диагонали просто не меняются.

Это если бы они были строго нижними треугольными которыми они в общем случае не являются. Но я ж говорю - удалось опровергнуть эту лемму. В частности таким вот набором преобразований II типа переводящим матрицу $\left[\begin{array}{cc} 2 & 0\\ 0 & 2\end{array}\right]$ в $\left[\begin{array}{cc} 4 & 0\\ 0 & 1\end{array}\right]$:
$\left[\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 0 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 1 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} 1 & -0.5\\ 0 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} 1 & 0\\ -2 & 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} 2 & 0\\ 0 & 0.5\end{array}\right]$

[ewert]

Diom в сообщении #420798 писал(а):

Это если бы они были строго нижними треугольными которыми они в общем случае не являются.

Они нижнетреугольные и есть (в смысле суть). Верхнетреугольные в этом контексте никому не нужны. Их и не рассматривают.

[Diom]

Цитата:

Верхнетреугольные в этом контексте никому не нужны. Их и не рассматривают.

Это почему же? Как предположим тогда записать операцию следующего типа: к n-ому столбцу (последнему) прибавить первый столбец умноженный скажем на 2?



Используя алгоритм приведения диагональной матрицы к виду: $diag\left(\lambda,1,1,\cdots,1\right)$, поставленная задача далее решается просто. Любая невырожденная матрица приводится к диагональному виду, а потом посредством указанного выше алгоритма (проводим с каждой парой соседствующих столбцов начиная с самой последней) приводится к $diag\left(\lambda,1,1,\cdots,1\right)$. Причем, так как преобразования второго типа не меняют значение определителя то $det(A)=\lambda$ а следовательно на всех невырожденных матрицах значения функций совпадают, а на вырожденных они по определению равны 0, и следовательно тоже совпадают. Поэтому имеется только одна функция удовлетворяющая этим требованиям и эта функция $D(A)=f\left(det\left(A\right)\right)$