Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

[Kitozavr]

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями :
$x=\sqrt2\cos{t} $
$y=2\sqrt2\sin{t}$, (здесь фигурная скобка, линия задана параметрически)
и
$y=2$ $(y \ge2)$.
Подскажите, пожалуйста, как найти пределы интегрирования.

[gris]

наконец-то что-то приятное глазу. Это сегмент эллипса, хороший. Площадь лучше считать через разность сектора и треугольника. Можно рассуждением (через сжатие), можно через интеграл. Найти точки пересечения да и всё. Кажется от пиначетыре до трипиначетыре. Но получится ли удобоваримо — Бог знает.

[Kitozavr]

gris в сообщении #420736 писал(а):

Можно рассуждением (через сжатие), можно через интеграл.

По заданию нужно обязательно через интеграл.
Точки пересечения у меня получились $(\sqrt2,0)$ при $t=0$ и $(0,2\sqrt2)$при $t=\frac{\pi}{2}$, но $y=0$ нам не подходит, поэтому считаем при $y=2$ и получается $(\sqrt2,2)$ при $t=\frac{\pi}{4}$. Значит пределы интегрирования от $\frac{\pi}{4}$ до $\frac{\pi}{2}$. Верно?

[ewert]

Нижний предел верен, а верхний Вы с потолка взяли.

(я, конечно, догадываюсь, почему -- потому, что он верхний; но не до такой же степени, чтобы лезть за ним на потолок)

[gris]

Конечно, с потолка — с верхней точки на оси симметрии. Площадь удвоить придётся. (про "$y=0$ не подходит" не понял)

[Kitozavr]

gris в сообщении #420773 писал(а):

про "$y=0$ не подходит" не понял

В задании сказано, что $y \ge 2$.

Верхний предел я нашёл так:
$x = \sqrt2 \cos{t} = 0$
$t = \frac{\pi}{2}$

[gris]

Бог попустил, что получилось то, что нужно. Однако Вы должны были найти что? Верхний и нижний предел интегрирования по чему? Для какой фигуры?
Зачем Вы искали точки пересечения с осями? Нужно с прямой $y=2$. Их две, точки.
Вы нашли пределы изменения $t$ для половинки сегмента/сектора. И, по-моему, сами не осознаёте этого . Нарисуйте рисунок.
А ещё надо найти верхний и нижний предел интегрирования по другой переменной. И не забыть якобиан.
Впрочем, я же не знаю, по каким переменным Вы собираетесь интегрировать.
Вдруг по $x,y$? Тоже можно.

[Kitozavr]

gris в сообщении #420792 писал(а):

Зачем Вы искали точки пересечения с осями? Нужно с прямой $y=2$. Их две, точки.

Всё, я понял. Дело в том ,что я не учёл период синуса. Спасибо, gris.

[gris]

Вы ещё первый замечательный предел учтите. Там тоже синус есть.

[Kitozavr]

gris в сообщении #420806 писал(а):

Вы ещё первый замечательный предел учтите. Там тоже синус есть.

Хм... не понял смысла фразы.

Ответ будет $\int \limits^{3 \pi/4}_{\pi/4}(-2 \sqrt2\sin{t}\sqrt2\cos{t})dt = -4\int \limits^{3 \pi/4}_{\pi/4}\sin{t}\cos{t}dt = -4\frac{\sin^2{t}}{2}\left| \limits^{3 \pi/4}_{\pi/4}=...$ и дальше подставить значения?

[ewert]

Kitozavr в сообщении #420836 писал(а):

Хм... не понял смысла фразы.

Смысл, по-видимому, в том, что период тут не особо так при чём. Поскольку подразумевается. А надо просто было решить элементарное (сугубо школьное) неравенство, из которого моментально тот самый верхний предел в три пи на четыре автоматом и выплывает.

[Kitozavr]

Найдите, пожалуйста ошибку:
$x=2 \sqrt2 \Cos t$
$y = 3 \sqrt2 \sin t$
Пересекается с $y=3$
Находим пределы интегрирования:
$y = 3 \sqrt2 \sin t=3 \Rightarrow$ t_1= \frac{\pi}{4}$, $t_2=\frac{3 \pi}{4}$
Находим площадь:
$S= \int \limits^\frac{3 \pi}{4}_\frac{\pi}{4}(3 \sqrt2 \sin t \ 2 \sqrt2 \sin t )dt = 12\int \limits^\frac{3 \pi}{4}_\frac{\pi}{4}\sin^2t dt = 6\int \limits^\frac{3 \pi}{4}_\frac{\pi}{4}(1-\cos 2t)dt = $ $=6t - 3 \sin 2t \Left| \limits^\frac{3 \pi}{4}_\frac{\pi}{4} = \frac{9}{2}\pi - 3 \sin\frac{3}{2}\pi-\frac{3}{2}\pi+3\sin\frac{\pi}{2} = 3\pi+6$
Препод говорит, что есть ошибка, а я никак не могу найти.

[ewert]

Ну, во-первых, Вы бы всё-таки определились, чему равен икс: в условии он один, а под интегралом -- другой. Во-вторых, Вы забыли про нижнюю границу области ($y=3$).

[Kitozavr]

Опечатался: $x=2 \sqrt2 \cos t$

ewert в сообщении #430475 писал(а):

Во-вторых, Вы забыли про нижнюю границу области ($y=3$).

Забыл написать, то, что под у=3 не учитывается.

[ewert]

Kitozavr в сообщении #430478 писал(а):

Забыл написать, то, что под у=3 не учитывается.

Нет-нет, не так, так дёшево это не проскочит. "Не учитывается" -- это не более чем лирика, а надобно выписать соотв. разность.

(не обязательно тут на форуме, конечно, но уж как минимум для начальства)