Скользящий стержень (кинематика)

[Nimza]

Помогите, пожалуйста, разобраться вот с чем.

Стержень достаточной высоты вставлен в полуокружность и скользит нижним концом по ней, опираясь на неё всё время в точке, где, собственно, начинается эта полуокружность. Вопрос: почему скорость точки стержня, которой он касается края полуокружности, направлена вдоль стержня?

[dovlato]

Потому что если в окрестности точки соприкосновения у точек стержня возникла бы составляющая скрости $\vec V_\perp$, перпендикулярная стержню, то за малое время $dt$эти точки сместились на расстояние $\vec V_\perp\,dt$; то есть стержень подскочил бы над краем, или наоборот, врезался бы в него. Кстати, этот вывод никак не связан с формой поверхности, по которой скользит нижний конец стержня.

[Nimza]

А есть возможность более строгого обоснования? Концептуально всё понятно.

[Munin]

dovlato
Как вы вообще сумели понять эти условия? И как вы их поняли?

[dovlato]

Munin в сообщении #420493 писал(а):

Как вы вообще сумели понять эти условия? И как вы их поняли?

Ну..честно говоря, у меня тут на столе стоит чайная чашка, с ложечкой вместо стержня).
Модель, однако..

-- Вт мар 08, 2011 00:19:24 --

Nimza в сообщении #420492 писал(а):

возможность более строгого обоснования

"Обоснование" - вера любого физика, что всё в макромире непрервыно дифференцируемо по времени. А следовательно, любая физическая величина для достаточно малых времён может быть разложена в ряд Тейлора, в котором обычно хватает одного-двух первых членов. Зануды из мехмата ещё могут вспомнить о теореме Лагранжа (Коши).

[gris]

А нельзя эту задачу трактовать так: тонкий стержень движется так, что он всё время проходит через начало координат. Может быть и в пространстве. Скорость точки, совпадающей с началом координат, направлена вдоль стержня (или равна нулю).

Но вот что подумалось: а если Ваш стержень толстенький и скользит по полуокружности, поворачиваясь ещё и вокруг своей оси?

[dovlato]

gris в сообщении #420502 писал(а):

направлена вдоль стержня

Of course. Но им нужен концептульный подход)..

[Nimza]

gris,
можно и так. Но это не помогает.

dovlato,
что Вы мне предлагаете раскладывать здесь в ряд Тейлора?

Вот если зафиксировать стержень и двигать лунку, то понятно что траектория точки касания движется по стержню, а значит, и скорость вдоль стержня. Но как перейти к движению стержня?

[gris]

Но вот что подумалось: а если Ваш стержень толстенький и скользит по полуокружности, поворачиваясь ещё и вокруг своей оси?

[Nimza]

Мне достаточно разобраться с идеально тонким :)

[gris]

А если перейти в систему координат, связанную со стержнем? Она, конечно, неинерциальная, но чисто кинематически?

[dovlato]

Nimza в сообщении #420504 писал(а):

что .. предлагаете раскладывать здесь в ряд Тейлора?

Координаты точек стержня в окрестности точки соприкосновения как ф-ции времени.. мы ведь имеем на это право? И, так сказать, прогнозируем их траектории на время $dt .$
А действительно, это можно обобщить, скорее всего, на любую $n-$мерную чашку. Правда, насчёт вкуса $n-$мерного чая трудно что-то сказать.

-- Вт мар 08, 2011 00:53:29 --

Nimza в сообщении #420504 писал(а):

Вот если зафиксировать стержень и двигать лунку, то понятно

Так в чём дело? Переходите в систему отсчёта, связанную со стержнем! Это ваша ситуация. Какая вам разница, что там неподвижно, а что движется..

[Nimza]

gris,
тут два варианта, ориентировать её как стержень или как оси, связанные с лункой. Первое бессмысленно, я так понимаю, а во втором случае мы должны получить, что сумма переносной скорости, направленной по касательной к полуокружности и относительной, направленной по нормали к стержню, должна лечь на стержень. Но я не вижу откуда это может сразу следовать.

[Munin]

dovlato в сообщении #420497 писал(а):

Ну..честно говоря, у меня тут на столе стоит чайная чашка, с ложечкой вместо стержня).Модель, однако..

Чашка - это не полуокружность, это всё-таки поверхность. Но я не понимаю гораздо более существенного: скорость ложечки, вроде бы, направлена вдоль поверхности, а отнюдь не вдоль ложечки.

Nimza в сообщении #420504 писал(а):

Вот если зафиксировать стержень и двигать лунку, то понятно что траектория точки касания движется по стержню

Нет. Она неподвижна и совпадает с концом стержня.

[Nimza]

Munin в сообщении #420518 писал(а):

Нет. Она неподвижна и совпадает с концом стержня.

Посмотрите иллюстрацию, я говорю про траекторию точки лунки, которая касается с неконцевой точкой стержня.