2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Вопрос по топологии
Сообщение07.03.2011, 14:16 
Аватара пользователя


15/08/09
1475
МГУ
Дано:

$A$-компактное множество, $B$-замкнутое множество, и
$\[A \subset \bigcup\limits_{i = 1}^m {D_i } \]$ открытые шары составляющие открытое покрытие покрытие $A$., при чём $\[
A \cap B = \emptyset 
\]
$

Доказать, что Если $\[
A \cap B = \emptyset 
\]
$ ,то$ \[
\bar D_i  \cap B = \emptyset 
\]
$ для всякого $\[
1 \leqslant i \leqslant m
\]$

Доказательство.
Допустим противное, т.е $\[
\bar D_i  \cap B \ne \emptyset 
\]$, и значит $\[
p \in \bar D_i  \cap B
\]
$, и тогда$ \[
p \in \bar D_i 
\]
$ и $\[
p \in B
\]
$........а теперь никак не получается довести до противоречия с $\[
A \cap B = \emptyset 
\]
$

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по топологии
Сообщение07.03.2011, 15:27 


14/07/10
206
Либо Вы что-то недописали в условии, либо утверждение неверно. Контрпример: вещественная прямая с канонической топологией,$A = [0;1]$, $B = [2;3]$. Берём в качестве покрытия - открытый шар $(-3; 3)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по топологии
Сообщение07.03.2011, 21:58 
Аватара пользователя


15/08/09
1475
МГУ
Вот приведу более точную формулировку. из книги "Современная геометрия" авторы Дубровин, Новиков,Фоменко.

Теперь рассмотрим подмножества $A,B$ в $R^{n}$. Где $A$-компактное множество, $B$ -замкнуто, и $\[
A \cap B = \emptyset 
\]
$. Так как $A$ компактно, то существует набор сфер $S_{i}$, где $\[
1 \leqslant i \leqslant m
\]$, таких что соответствующие открытые шары $D_{i}$ и $\[
\partial \bar D_i  = S_i 
\]
$, составляют покрытие множества $A$ т.е $\[
A \subset \bigcup\limits_{i = 1}^m {D_i } 
\]$. Так как $\[
A \cap B = \emptyset 
\]
$, то можно считать , что $\[
\bar D_i  \cap B = \emptyset 
\]$ для всякого $\[
1 \leqslant i \leqslant m
\]$


Так что так.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по топологии
Сообщение07.03.2011, 22:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
18035
Москва
Так там же написано: "можно считать"; то есть, их можно выбрать настолько малыми, чтобы они не пересекались с множеством $B$ (для этого нужна регулярность пространства, в котором всё это происходит). И вовсе не написано, что первые попавшиеся шары удовлетворяют этому условию.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по топологии
Сообщение07.03.2011, 22:08 
Аватара пользователя


15/08/09
1475
МГУ
Someone
Ясно.Спасибо.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group