Вопрос по топологии

[maxmatem]

Дано:

$A$-компактное множество, $B$-замкнутое множество, и
$\[A \subset \bigcup\limits_{i = 1}^m {D_i } \]$ открытые шары составляющие открытое покрытие покрытие $A$., при чём $\[ A \cap B = \emptyset \] $

Доказать, что Если $\[ A \cap B = \emptyset \] $ ,то$ \[ \bar D_i \cap B = \emptyset \] $ для всякого $\[ 1 \leqslant i \leqslant m \]$

Доказательство.
Допустим противное, т.е $\[ \bar D_i \cap B \ne \emptyset \]$, и значит $\[ p \in \bar D_i \cap B \] $, и тогда$ \[ p \in \bar D_i \] $ и $\[ p \in B \] $........а теперь никак не получается довести до противоречия с $\[ A \cap B = \emptyset \] $

[MaximVD]

Либо Вы что-то недописали в условии, либо утверждение неверно. Контрпример: вещественная прямая с канонической топологией,$A = [0;1]$, $B = [2;3]$. Берём в качестве покрытия - открытый шар $(-3; 3)$.

[maxmatem]

Вот приведу более точную формулировку. из книги "Современная геометрия" авторы Дубровин, Новиков,Фоменко.

Теперь рассмотрим подмножества $A,B$ в $R^{n}$. Где $A$-компактное множество, $B$ -замкнуто, и $\[ A \cap B = \emptyset \] $. Так как $A$ компактно, то существует набор сфер $S_{i}$, где $\[ 1 \leqslant i \leqslant m \]$, таких что соответствующие открытые шары $D_{i}$ и $\[ \partial \bar D_i = S_i \] $, составляют покрытие множества $A$ т.е $\[ A \subset \bigcup\limits_{i = 1}^m {D_i } \]$. Так как $\[ A \cap B = \emptyset \] $, то можно считать , что $\[ \bar D_i \cap B = \emptyset \]$ для всякого $\[ 1 \leqslant i \leqslant m \]$


Так что так.

[Someone]

Так там же написано: "можно считать"; то есть, их можно выбрать настолько малыми, чтобы они не пересекались с множеством $B$ (для этого нужна регулярность пространства, в котором всё это происходит). И вовсе не написано, что первые попавшиеся шары удовлетворяют этому условию.

[maxmatem]

Someone
Ясно.Спасибо.