Положение неустойчивого равновесия

[Rubik]

Тело может двигатться вдоль некой прямой (или кривой) в потенциальном поле. На прямой существует положение неустойчивого равновесия. Может ли тело, находясь первоначально в другой точке, обладая полной энергией, равной потенциальной энергии в точке неустойчивого равновесия, достигнуть этой точки?
Потенциальная энергия - некая функция координаты, $W(x)$. Точка $x_m$ - точка неустойчивого равновесия, максимума потенциальной энергии $W_m=W(x_m)$. Пусть $x_0<x_m$ - точка, из которой тело начинает движение. Начальная скорость направлена в положительном направлении, к точке $x_m$, $W(x)<W_m\forall x \in [x_0;x_m)$, поэтому тело сохранит направление своей скорости на этом промежутке. Для произвольной точки этого промежутка $\frac{mv^2(x)}2=W_m-W(x)$, $\frac{dx}{dt}=\sqrt{\frac2m(W_m-W(x))}. Отсюда время, за которое тело окажется в точке $x_m$: $t=\sqrt\frac m2\int\limits_{x_0}^{x_m}\frac{dx}{\sqrt{W_m-W(x)}}$(*).
Рассмотрим в качестве примера математический маятник на жёстком стержне длины $l$. Пусть $x$ - длина дуги, которую он прошёл от точки устойчивого равновесия, $x_0=0$. Тогда $x_m=2\pi l$. $W(x)=-mgl\cos\frac xl$, $W_m=mgl$. Интеграл $t=\sqrt\frac m2\int\limits_{x_0}^{x_m}\frac{dx}{\sqrt{W_m-W(x)}}=\sqrt\frac m2\int\limits_{x_0}^{2\pi l}\frac{dx}{\sqrt{mgl+mgl\cos\frac xl}}$ не сходится.
Мой вопрос свёлся к математическому: существуют ли такие дифференцируемые на $[x_0;x_m]$ функции $W(x)$, удовлетворяющие всем условиям, что интеграл (*) сходится?

[Munin]

В случае вашей постановки вопроса всё банально, например, $W=a(x-x_0)(x-x_m).$
Но обычно, говоря о положении неустойчивого равновесия, подразумевают функцию, дифференцируемую в некоторой двухсторонней окрестности максимума, $(x_m-a,x_m+b).$ И тогда ответ отрицательный. Раскладываете $W(x)\bigr|_{x_m}$ в ряд Тейлора, и по первому ненулевому члену получаете асимптотическое поведение движения точки, приближающейся к максимуму с его энергией. Уже для квадратичной функции движение будет экспонентой, а время - бесконечным.

[Rubik]

Спасибо, понятно. Когда я говорил о положении неустойчивого равновесия, я имел в виду, что $W'(x)=0$. Тогда действительно в разложении Тейлора отсутствует линейный член и интеграл не сходится.
Правда тогда возникает вопрос: а как обосновать этот метод проверки сходимости интеграла?

[Oleg Zubelevich]

Rubik в сообщении #418982 писал(а):

Мой вопрос свёлся к математическому: существуют ли такие дифференцируемые на $[x_0;x_m]$ функции $W(x)$, удовлетворяющие всем условиям, что интеграл (*) сходится?

Да существуют. Возьмем функцию $W(x)=-|x|^{3/2},\quad x_m=0$. Подумайте какой фундаментальный физический принцип нарушится для системы с такой потенциальной энергией

[Rubik]

Oleg Zubelevich в сообщении #419241 писал(а):

Да существуют. Возьмем функцию $W(x)=-|x|^{3/2},\quad x_m=0$. Подумайте какой фундаментальный физический принцип нарушится для системы с такой потенциальной энергией

Хм... Функция хорошая, непрерывно дифференцируемая. То что размерность не сходится - это мелочь, всегда можно домножить на какой-то размерный коэффициент. Не знаю я, что здесь нарушается.

[Munin]

Я вижу, что здесь только аналитичность нарушается. Что-то ещё?

[Oleg Zubelevich]

единственность решения нарушается

[Munin]

А что такое единственность решения?

[Oleg Zubelevich]

принцип детерминированности нарушается, так понятней?

[Munin]

Нет, не понятней. Что за принцип? Как он выглядит в математической записи?

[Oleg Zubelevich]

Напишите уравнение $\ddot x=-\frac{\partial W}{\partial x}$. Убедитесь, что начальным условиям $x(0)=0,\quad \dot x(0)=0$ соответствуют два разных решения.

[Munin]

Ну и? Где в физике такой принцип? Будьте добры ссылочку на учебник уровня ЛЛ-1.

[Oleg Zubelevich]

В.И. Арнольд, Математические методы классической механики: Принцип детерминированности Ньютона.

[Munin]

По Арнольду, этот принцип используется ровно в одном месте: для существования уравнения

$$\ddot{\mathbf{x}}=\mathbf{F}(\mathbf{x},\dot{\mathbf{x}},t).$$

Далее везде используется именно это уравнение, а не принцип. Не вижу, чего фундаментального остаётся в этом принципе, в ситуациях, когда уравнение существует, а принцип не выполняется. В частности, Арнольд ссылается на выполнение некоторых условий гладкости, но они принимаются выполненными далеко не всегда (см., напр., теорию удара).