Верхний и нижний предел последовательности множеств

[Виктор Викторов]

«Если $E$ содержит все $A_n$ и если $B_n=E-A_n{,}$ то $E=\underline A+\overline B =\overline{A}+\underline{B}{.}$ В самом деле, $x\inE$ либо принадлежит почти всем $A_n{,}$ а следовательно, только конечному числу $B_n{,}$ либо бесконечному числу $B_n$ и, следовательно, конечному числу $A_n{.}$» Ф. Хаусдорф «Теория множеств». Страница 18.
Как $x$ может принадлежать верхнему пределу последовательности множеств $B_n{,}$ если $x$ принадлежит «только конечному числу $B_n$»?

[svv]

Здесь "либо...либо" относятся не к двум вариантам представления $E$ ($\underline A+\overline B$ и $\overline A+\underline B$), а только к первому, $\underline A+\overline B$. Вероятно, Вы так это и понимали.
Первое "либо" ($x$ принадлежит почти всем $A_n{,}$ и, следовательно, только конечному числу $B_n$) формирует множество $\underline A$. Для таких $x$ не утверждается, что они принадлежат верхнему пределу $B_n$.
Второе "либо" ($x$ принадлежит бесконечному числу $B_n$ и, следовательно, конечному числу $A_n$) формирует множество $\overline B$. Для таких $x$ не утверждается, что они принадлежат лишь конечному числу $B_n$.

Что касается части формулы $\overline{A}+\underline{B}$, то для нее пропущен, но подразумевается аналогичный комментарий с переменой местами $A$ и $B$.

[Виктор Викторов]

«Если $E$ содержит все $A_n$ и если $B_n=E-A_n{,}$ то $E=\underline A+\overline B =\overline{A}+\underline{B}{.}$» Как работает эта формула я понял. Но фраза «В самом деле, $x\inE$ либо принадлежит почти всем $A_n{,}$ а следовательно, только конечному числу $B_n{,}$ либо бесконечному числу $B_n$ и, следовательно, конечному числу $A_n{.}$» всё-таки осталась для меня загадкой.
Дело вот в чем. Нам дано $n$ разбиений множества $E$ на два непересекающихся подмножества. Используя эти разбиения, рассмотрим разбиение множества $E$ на три попарно непересекающихся подмножества:
1. Подмножество $W{,}$ в которое входят те и только те элементы $E{,}$ которые содержатся в бесконечном наборе множеств $A_n$ и не содержатся в конечном наборе множеств $A_n$ (они же не содержатся в бесконечном наборе множеств $B_n$ и содержатся в конечном наборе множеств $B_n{).}$ Это множество $\underline A{.}$
2. Подмножество $V{,}$ в которое входят те и только те элементы $E{,}$ которые содержатся в бесконечном наборе множеств $A_n$ и не содержатся в бесконечном наборе множеств $A_n$ (например, содержатся в четных множествах и не содержатся в нечётных. Они же не содержатся в бесконечном наборе множеств $B_n$ и содержатся в бесконечном наборе множеств $B_n{).}$ Это одновременно подмножество обоих множеств $\overline B$ и $\overline{A}$.
3. Подмножество $X{,}$ в которое входят те и только те элементы $E{,}$ которые содержатся в бесконечном наборе множеств $B_n$ и не содержатся в конечном наборе множеств $B_n$ (они же не содержатся в бесконечном наборе множеств $A_n$ и содержатся в конечном наборе множеств $A_n{).}$ Это множество $\underline B{.}$
И теперь $V+X=\overline B{.}$

[Null]

$\underline A$ - множество элементов каждый из которых начиная с некоторого места содержится во всех $A_n$

[Виктор Викторов]

Я плохо сформулировал вопрос. Дело в том, что этим «либо, ... либо» дело не ограничивается. Есть ещё один вариант: элементы $E{,}$ которые содержатся в бесконечной подсовокупности множеств $A_n$ и не содержатся в другой бесконечной подсовокупности множеств $A_n$ (например, содержатся только в множествах с чётными индексами. Они же содержатся в бесконечном наборе множеств $B_n$ только с нечётными индексами).

[svv]

А, понятно, что Вам не нравится. Да, у Хаусдорфа во втором "либо" ошибка:

Цитата:

...либо бесконечному числу $B_n$, и, следовательно, конечному числу $A_n$

Но ведь некоторый $x$, принадлежа бесконечному числу $B_n$, может в то же время принадлежать и бесконечному числу $A_n$.

Вчера я, размышляя над этой темой, так же как и Вы, разбил $E$ на три непересекающихся множества. Обозначения возьму Ваши.
$W$ -- те $x$, которые принадлежат конечному числу $B_n$.
$X$ -- те $x$, которые принадлежат конечному числу $A_n$.
$V = E - (W+X)$ -- те $x$, которые принадлежат бесконечному числу $A_n$ и бесконечному числу $B_n$.

Тогда
множество $x$, принадлежащих бесконечному числу $A_n$ -- это $W+V=E-X$.
множество $x$, принадлежащих бесконечному числу $B_n$ -- это $X+V=E-W$.
Дальше, $\underline A = W$, $\underline B = X$, $\overline A = W+V$, $\overline B = X+V$.
Ну, и тогда $E$ можно представить как $\underline A + \overline B = W + (X+V)$. А можно как $\overline A + \underline B = (W+V) + X$.
Все правильно?

"Минимальное" исправление комментария Хаусдорфа, по-моему, такое:

Цитата:

В самом деле, $x \in E$ либо принадлежит почти всем $A_n$, а следовательно, только конечному числу $B_n$, либо бесконечному числу $B_n$ и, следовательно, конечному числу A_n.

При такой трактовке второе "либо" охватывает два базовых множества: $X+V$. По-моему, это и имел в виду великий Хаусдорф.

[Виктор Викторов]

Думаю, что Вы правы. Нет ли где скачать английский вариант книги Хаусдорфа?

[svv]

Это не ошибка Хаусдорфа! Своими глазами прочитал в английском издании (там это стр.22):

Цитата:

For, an $x \in E$ belongs either to almost all $A_n$, i.e., to only finitely many $B_n$, or to infinitely many $B_n$.

И никаких "i.e. to only finitely many $A_n$".

Для окончательного "приговора" надо еще посмотреть оригинальный немецкий текст -- может, английский переводчик исправил?

[Виктор Викторов]

«… и, следовательно, конечному числу $A_n{.}$» Да. Этот кусок отсутствует в английском тексте. Кстати я нашёл его и скачал. Могу поделиться.

[svv]

В немецком издании 1935 года тоже нет:

Цитата:

Denn ein $x \epsilon E$ gehört entweder fast allen $A_n$, d. h. nur endlich vielen $B_n$, oder unendlich vielen $B_n$ an.

Ну, значит, "наши". Задача, конечно, у них была сложная -- синтезировать новый текст, взяв лучшее из разных немецких изданий книги, которые "настолько отличаются друг от друга по своему содержанию, что должны быть рассматриваемы как два произведения математической литературы, а не как два издания одной и той же книги".

[Виктор Викторов]

Я восхищен Вашей "немецкой" настойчивостью. Спасибо!