А вообще, все рациональные точки можно отметить через подобие треугольников, образованных высотой в прямоугольном треугольнике. Все точки вида

с помощью окружности радиуса

.
Честно говоря, недопонял
Вот
![$\sqrt[3]{2}$ $\sqrt[3]{2}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/0/d/e0db901a13e9b18861b1a7edb00bdf4a82.png)
почему нельзя, понятно: классическая задача об удвоении куба и всё такое... А почему, к примеру,
![$\sqrt[3]{6}$ $\sqrt[3]{6}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/3/9/b39b7e3f906fea642e92d8a3dd89d6b382.png)
или
![$\sqrt[3]{7}$ $\sqrt[3]{7}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/1/1/a11ab60f8c9b83365afff6e55121f83a82.png)
нельзя? В конечном счёте всё упирается в теорию Галуа, но как именно? Ван дер Вардена под рукой, увы, нет...
Если не ошибаюсь, то там та же самая идея.
Доказывается она вроде как просто.
Допустим у нас есть в начале отмеченные точки с рациональными координатами, тогда мы можем получить ещё некоторую точку с рациональными координатыми ( если она является пересечением двух прямых), либо с координатами которые записаны с помощью квадратных корней ( если это пересечение окружности с прямой, либо двух окружностей). И тд.
Таким образом остаётся доказать, что число
![$\sqrt[3]k$ $\sqrt[3]k$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/8/1/b812a35254f3d92f206a431a7872648682.png)
не есть рациональное, и не может быть представлено с помощью квадратных корней. Это доказывается чем-то типа индукции или бесконечного спуска.
Прасолов В. В.. Три классические задачи на построение. Удвоение куба, трисекция угла, квадратура круга. М.: Наука, 1992. 80 с. Серия «Популярные лекции по математике», выпуск 62.-- Пт мар 04, 2011 00:10:26 --А вообще, все рациональные точки можно отметить через подобие треугольников, образованных высотой в прямоугольном треугольнике. Все точки вида

с помощью окружности радиуса

.
Честно говоря, недопонял
Недопоняли как точки получить? Я там немного про окружность напутал, чтоб получить отрезок длиной

, строим прямоугольный треугольник со сторонами

и 1, длина гипотенузы и будет искомой. Это для целых ( и рациональных)

. Для иррациональных ща попробую додумать...
На рисунке показал.
