Кубический корень на числовой прямой

[MrDindows]

Можно ли с помощью циркуля и линейки отметить на числовой прямой (координатной плоскости) точку
$\sqrt[3]k$, где $k$ - некоторое рациональное число?

Сам думаю, что нельзя, ибо в планиметрии вроде как нету даже соотношений, в которых бы фигурировали кубы, но хотелось бы знать точно)

[ИСН]

Дык, это же одна из канонических её задач, наряду с трисекцией угла и забыл чем ещё.

-- Чт, 2011-03-03, 17:37 --

И квадратурой круга (вспомнил).

[MrDindows]

Мм, как я понял http://ru.wikipedia.org/wiki/Удвоение_куба - это оно?)

[ИСН]

Оно.

[Профессор Снэйп]

Для $k = 1$ или $k = 8$ отметить, безусловно, можно

А вообще, для каких $k \in \mathbb{Q}$ можно, пользуясь циркулем и линейкой, построить отрезок длины $\sqrt[3]{k}$?

[mihailm]

(Оффтоп)

а отрезок длины минус один можно построить пользуясь циркулем и линейкой?

[Утундрий]

(Оффтоп)

mihailm в сообщении #419407 писал(а):

а отрезок длины минус один можно построить пользуясь циркулем и линейкой?

Легко! Нужно построить отрезок длины один и с помощью линейки пририсовать при нём минус.

[MrDindows]

Профессор Снэйп в сообщении #419402 писал(а):

Для $k = 1$ или $k = 8$ отметить, безусловно, можно?

А вообще, для каких $k \in \mathbb{Q}$ можно, пользуясь циркулем и линейкой, построить отрезок длины $\sqrt[3]{k}$?

Безусловно=) Меня как раз интересовал случай, когда $\sqrt[3]k$ - иррациональное, уже всё что мне надо было, нашёл и понял=)
А вообще, все рациональные точки можно отметить через подобие треугольников, образованных высотой в прямоугольном треугольнике. Все точки вида $\sqrt a_n$ с помощью окружности радиуса $a_n$.

[Профессор Снэйп]

MrDindows в сообщении #419422 писал(а):

А вообще, все рациональные точки можно отметить через подобие треугольников, образованных высотой в прямоугольном треугольнике. Все точки вида $\sqrt a_n$ с помощью окружности радиуса $a_n$.

Честно говоря, недопонял

Вот $\sqrt[3]{2}$ почему нельзя, понятно: классическая задача об удвоении куба и всё такое... А почему, к примеру, $\sqrt[3]{6}$ или $\sqrt[3]{7}$ нельзя? В конечном счёте всё упирается в теорию Галуа, но как именно? Ван дер Вардена под рукой, увы, нет...

[MrDindows]

Профессор Снэйп в сообщении #419426 писал(а):

MrDindows в сообщении #419422 писал(а):

А вообще, все рациональные точки можно отметить через подобие треугольников, образованных высотой в прямоугольном треугольнике. Все точки вида $\sqrt a_n$ с помощью окружности радиуса $a_n$.

Честно говоря, недопонял

Вот $\sqrt[3]{2}$ почему нельзя, понятно: классическая задача об удвоении куба и всё такое... А почему, к примеру, $\sqrt[3]{6}$ или $\sqrt[3]{7}$ нельзя? В конечном счёте всё упирается в теорию Галуа, но как именно? Ван дер Вардена под рукой, увы, нет...

Если не ошибаюсь, то там та же самая идея.
Доказывается она вроде как просто.
Допустим у нас есть в начале отмеченные точки с рациональными координатами, тогда мы можем получить ещё некоторую точку с рациональными координатыми ( если она является пересечением двух прямых), либо с координатами которые записаны с помощью квадратных корней ( если это пересечение окружности с прямой, либо двух окружностей). И тд.
Таким образом остаётся доказать, что число $\sqrt[3]k$ не есть рациональное, и не может быть представлено с помощью квадратных корней. Это доказывается чем-то типа индукции или бесконечного спуска.
Прасолов В. В.. Три классические задачи на построение. Удвоение куба, трисекция угла, квадратура круга. М.: Наука, 1992. 80 с. Серия «Популярные лекции по математике», выпуск 62.

-- Пт мар 04, 2011 00:10:26 --

Профессор Снэйп в сообщении #419426 писал(а):

MrDindows в сообщении #419422 писал(а):

А вообще, все рациональные точки можно отметить через подобие треугольников, образованных высотой в прямоугольном треугольнике. Все точки вида $\sqrt a_n$ с помощью окружности радиуса $a_n$.

Честно говоря, недопонял

Недопоняли как точки получить? Я там немного про окружность напутал, чтоб получить отрезок длиной
$\sqrt{k+1}$, строим прямоугольный треугольник со сторонами $\sqrt k$ и 1, длина гипотенузы и будет искомой. Это для целых ( и рациональных) $k$. Для иррациональных ща попробую додумать...
На рисунке показал.

[MrDindows]

Додумал.
Значит у нас есть точка $k$, надо получить точку $\sqrt k$, где $ k$ - любое.
Делаем так: ставим точки $A (0,k)$ и $B (0,1)$. И на $AB$, как на диаметре строим окружность. Точка пересечения её с осью $OX$ - точка $C$. Так как $AB$ диаметр, то треугольник $ABC$ - прямоугольный, значит $CO$ - его высота, соответственно она равна $\sqrt k$.
Таким образом мы можем отметить любую точку, записываемую с помощью квадратных корней.

[MrDindows]

Опечатлся.
Точка $B(0,-1)$