Числа на шахматной доске, задача со шведской олимпиады

[Xenia1996]

Натуральные числа от 1 до 64 расставлены в клетках обычной шахматной доски (каждое число ровно в одной клетке, в каждой клетке ровно одно число, все числа попарно различны).

а) Докажите, что в каждом из по крайней мере четырёх квадратиков 2 на 2 сумма чисел больше 100.

б) В каком наименьшем числе квадратиков 2 на 2 сумма чисел может быть больше 100?

в) А в каком наибольшем?

*Под "в каждом из" имеется в виду сумма четырёх чисел в квадратике (а не сумма, скажем, всех 8 чисел в двух непересекающихся квадратиках).

**Не предполагается. Квадратики могут пересекаться. Скажем, $(a1, a2, b1, b2)$ и $(b1, b2, c1, c2)$ - это два разных квадратика.

[Xenia1996]

Не дописала фразу.
Не предполагается, что квадратики обязаны быть непересекающимися.

[mihiv]

Максимальное число квадратов с суммой $>100,N_{max}=49$.Для минимального числа удалось получить только неравенство $N_{min}\leq 14.$

[mihiv]

Можно уменьшить число квадратов с суммой чисел >100 до 13.
Расстановка чисел такая:первую (нижнюю) горизонталь и вертикаль $h$ заполняем числами от 50 до 64 (всего 15 чисел).Числами от 1 до 21 заполняем 7-ю,5-ю и 3-ю горизонтали,двигаясь слева направо и сверху вниз и,наконец,числами от 22 до 49 заплняем 2-ю,4-ю,6-ю и 8-ю горизонтали,двигаясь справа налево и снизу вверх.
В 13 квадратах $2\times 2$,расположенных на первой горизонтали и на вертикали $h$,сумма чисел >100,в оставшихся 36 квадратах сумма либо 100,либо 86.Очевидно,что $N_{min}\geq 4.$
Так что $4\leq N_{min}\leq 13.$

[Xenia1996]

mihiv в сообщении #419315 писал(а):

Можно уменьшить число квадратов с суммой чисел >100 до 13.
Расстановка чисел такая:первую (нижнюю) горизонталь и вертикаль $h$ заполняем числами от 50 до 64 (всего 15 чисел).Числами от 1 до 21 заполняем 7-ю,5-ю и 3-ю горизонтали,двигаясь слева направо и сверху вниз и,наконец,числами от 22 до 49 заплняем 2-ю,4-ю,6-ю и 8-ю горизонтали,двигаясь справа налево и снизу вверх.
В 13 квадратах $2\times 2$,расположенных на первой горизонтали и на вертикали $h$,сумма чисел >100,в оставшихся 36 квадратах сумма либо 100,либо 86.Очевидно,что $N_{min}\geq 4.$
Так что $4\leq N_{min}\leq 13.$

Можно ещё меньше!