Про выпуклые фигуры (геометрия 8 класс)

[BVR]

Возник такой вопрос: одна точка является выпуклой фигурой?
вопрос возник в связи с тем, что мне предложили поучаствовать в написании учебника для школы. В книжках, которые я смотрел, пишут, что пересечение выпуклых фигур, есть выпуклая фигура. Надо ли добавлять, что пересечение должно состоять более чем из одной точки?

Может лучше внести это в определение выпуклого множества? Типа: Множество называется выпуклым, если вместе с любыми двумя своими точками оно содержит и весь отрезок, соединяющий эти точки. Множество, состоящее из одной точки, считается выпуклым.

[gris]

Если подойти формально, то в определении не сказано, что две точки, соединяемые отрезком, должны быть различны. Отрезок, оба конца которого совпадают, просто состоит их одной точки. Условие выпуклости для одноточечного множества выполнено, и Ваше добавление излишне.
Хотя для школьников можно крайние или недостаточно наглядные случаи прописывать дополнительно.

[BVR]

gris
Спасибо за быстрый ответ. Но, поскольку отрезок определяли как две точки прямой и все точки лежащие между ними, а предельные случаи в 7-м классе не оговаривались, то, думаю, что дам определение. как написал в первом посте. Тогда доказательство утверждения о пересечении начну с фразы:если пересечение состоит из одной точки, то справедливость утверждения вытекает из определения выпуклого множества.
А пустое множество - выпуклое? Не... лучше определение начать так: Фигура называется выпуклой...
Хотя, можно ведь и так рассуждать: выпуклость равносильна истинности импликации "если две точки принадлежат фигуре, то и отрезок, соединяющий их, тоже принадлежит фигуре". Для Одноточечного и пустого множеств посылка ложна, значит импликация истинна. То есть они выпуклы. Но последнее рассуждение восьмиклассникам не приведёшь

ЗЫ хочется, чтобы всё было аккуратно и не очень громоздко.

[gris]

Сейчас в школе говорится только о выпуклости многоугольников, где она определяется, как нахождение многоугольника в одной полуплоскости относительно каждой стороны. Интересно, где во втором годичном курсе стандартной геометрии найдётся место для выпуклых фигур, а тем более для их пересечений и объединений. Или это учебник повышенной сложности?
Вспоминается книжка Яглома про выпуклые фигуры. Ведь вводить выпуклость фигур имеет смысл вместе с соответствующими теоремами, которые для восьмиклассника ещё сложны. Но я имею в виду стандартную школу. Если учебник для продвинутых юных математиков, то да.

[BVR]

Никакой повышенной сложности. Но хочется, чтобы учебник был интересен и умным детям. Поэтому все-же пол-странички хотел бы посвятить выпуклым множествам. Следующий шаг буде такой: выпуклый многоугольник есть выпуклое множество. Тогда потом легко выводится, что диагональ выпуклого четырёхугольника лежит внутри него.
После каждого параграфа планируются задачи по степеням сложности А, В, С. Задачки на выпуклость помещу в раздел В или С. Хорошим детям вполне под силу такая, например, задача: Д-ть, что если точки А,В и С, не лежащие на одной прямой, принадлежат выпуклому множеству, то и весь треугольник принадлежит этому множеству. А для раздела С: доказать, что треугольник АВС есть наименьшее выпуклое множество, содержащее эти три точки (это я в Люстернике нашёл).

[ewert]

А в чём, собственно, проблема? Почему бы одну точку не считать отрезком или выпуклым множеством? (Тем более что все так и считают.)

Противоречий-то при этом никаких не возникает, а чего ещё нужно. А вот если этот случай исключить -- то действительно будут проблемы, и не только здесь. Например, по той же логике придётся исключить понятие нулевого вектора.

-- Чт мар 03, 2011 11:55:50 --

Да, кстати насчёт разделов:

BVR в сообщении #419080 писал(а):

в раздел В или С. Хорошим детям вполне под силу такая, например, задача: Д-ть, что если точки А,В и С, не лежащие на одной прямой, принадлежат выпуклому множеству, то и весь треугольник принадлежит этому множеству. А для раздела С: доказать, что треугольник АВС есть наименьшее выпуклое множество, содержащее эти три точки (это я в Люстернике нашёл).

По-моему, обе задачи -- абсолютно одного уровня.

[BVR]

ewert в сообщении #419201 писал(а):

По-моему, обе задачи -- абсолютно одного уровня.

Всё-таки вторая содержит необычный термин "наименьшее" множество. Но тут я ещё подумаю - пока задачи не компоновал.

Думал-думал и вынужден согласиться с замечанием gris, что не надо глубоко лезть в выпуклые фигуры. Уберу теорему о пересечении в задачи...

[BVR]

Что-то всё коряво получается...

[BVR]

Да уж проблем много.
Например, заметил, что при выводе формулы суммы углов выпуклого многоугольника авторы школьных учебников выпускают диагонали из одной вершины и не заморачиваются вопросом - а почему получившиеся треугольники не перекрываются, то есть почему угол, из вершины которого они выпущены распадается именно в сумму углов? Но доказательство этого опять же займёт много места и усложнит текст. Решил эту формулу на данном этапе не давать.
И ещё возник вопрос как дать аккуратное определение внутреннего угла многоугольника (угол - это пара лучей, торчащих из одной точки)? Для выпуклого просто. А вообще?

[ewert]

BVR в сообщении #420558 писал(а):

Но доказательство этого опять же займёт много места и усложнит текст. Решил эту формулу на данном этапе не давать.

Доказывайте по индукции (как, собственно, все нормальные люди и делают).

[BVR]

ewert в сообщении #420563 писал(а):

Доказывайте по индукции (как, собственно, все нормальные люди и делают).

Не. Для 8-го нельзя.
Про определение внутреннего угла в мат. энциклопедии написано следующее:
Угол, образованный лучами, имеющими начало в нк-рой вершине М. и содержащими обе смежные стороны этой вершины, наз внутренним углом М., если этот угол имеет непустое пересечение с внутренней областью М. и этому пересечению принадлежит рассматриваемая вершина М. (М. - это сокращение слова многоугольник). А разве вершина принадлежит внутренней области многоугольника? С точки зрения топологии это ведь не так...

[Профессор Снэйп]

gris в сообщении #419011 писал(а):

Если подойти формально, то в определении не сказано, что две точки, соединяемые отрезком, должны быть различны. Отрезок, оба конца которого совпадают, просто состоит их одной точки. Условие выпуклости для одноточечного множества выполнено, и Ваше добавление излишне.
Хотя для школьников можно крайние или недостаточно наглядные случаи прописывать дополнительно.

Если подойти совсем формально, даже этого не нужно!

Допустим, что края отрезка должны быть различными точками. Тогда отрезков, концы которых принадлежат одноточечному множеству, не существует вообще. А утверждение $(\forall x \in \varnothing)\Phi(x)$ верно всегда, независимо от того, что представляет из себя утверждение $\Phi$

Точка --- это, конечно же, выпуклое множество. Возможно, в ШКОЛЬНОМ учебнике это стоит огноворить отдельно, поскольку абстракция с квантором по пустому множеству до школьников может не дойти. Но считать точку не выпуклой фигурой ни в коем случае нельзя!!!

[BVR]

Профессор Снэйп
я так и сделал - написал в конце, что точка и пустое множество являются выпуклыми фигурами