Сферическая система координат

[12d3]

evgeniy в сообщении #418796 писал(а):

Определение огибающей я записал на предыдущем ответе.

Спасибо. Если явно подсчитать эти интегральчики, получатся такие выражения:
$s_1 = R \theta$
$s_2 = R \sin{ \theta}\, \varphi$
Но тогда равенство $ds^2 = dR^2 + ds_1^2 + ds_2^2$ не выполняется, потому что $ds_1 = \theta dR + R d \theta,\,\,\,\,ds_2 = \sin {\theta} \varphi dR + R \cos{\theta} \varphi d \theta + R \sin{\theta} d \varphi$. Даже если зафиксировать радиус и считать $dR=0$, то все равно не выполняется.
Кстати, вы не заметили случайно, что $dR^2 + ds_1^2 + ds_2^2$ - самая настоящая евклидова метрика?

[evgeniy]

можно еще проще $s_1=R\theta,s_2=Rsin\theta \varphi$.
Определение огибающей берется при изменении одного угла, а не обоих, поэтому производная по другому углу не нужна.
Формулы по определению другого угла аналогичны, просто величина $s_1^{max}(s_2)$ имеет другое значение.
Раскладывается в интеграл Фурье решение уравнения с Лапласианом, пользуясь решением угловой части Лапласиана $exp(in\varphi_1+i\alpha \varphi_2)$
Дело в том, что интегрируется не в сферических координатах, а в двух новых введенных углах.

[12d3]

evgeniy в сообщении #418806 писал(а):

Определение огибающей берется при изменении одного угла, а не обоих, поэтому производная по другому углу не нужна.

То есть по-вашему, если $\theta$ меняется, то $s_2$ меняться не должно? А по формуле как раз наоборот.

evgeniy в сообщении #418806 писал(а):

поэтому производная по другому углу не нужна.

Именно тут у вас сидит ошибка. Очень даже нужна.

[evgeniy]

Но это решение не представляет особого интереса, так как справедливо только для сферы. Можно получить решение для произвольного тела, но это уже другой разговор.
12d3, имеется в виду интегрирование по $s_l$ величины 1/R для получения величины $\varphi_l$.

[12d3]

Контрольный вопрос - чему равно $\frac {\partial s_2}{\partial \theta}$ ?

[shwedka]

evgeniy в сообщении #418806 писал(а):

поэтому производная по другому углу не нужна.

Для чего не нужна?? Чтобы преобразовать метрический тензор?
Докажите с формулами в руках, а не на словах. Пока что пустая болтовня. И ошибки

Имеется форма

$ds_1^2+\sin s_1 ds_2^2 $.

Подствьте сюда формулы
$ds_i=\frac{\partial s_i}{\partial \varphi_1}d\varphi_1+\frac{\partial s_i}{\partial \varphi_2}d\varphi_2$
И прекрасно полезут смешанные производные.

evgeniy в сообщении #418806 писал(а):

Раскладывается в интеграл Фурье решение уравнения с Лапласианом, пользуясь решением угловой части Лапласиана

замечательно!!
значит, после замены переменных у Лапласиана на сфере стал непрерывный спектр? вместо дискретного. Такого не бывает. вы наррушили еще один закон природы.

И как там насчет

shwedka в сообщении #418797 писал(а):

evgeniy в сообщении #418777 писал(а):
формула Гаусса локальна, но подразумевает что поверхность определена на конечном множестве,

Чушь! Где Вы это взяли? такое 'подразумевает' это Ваше личное изобретение.

Может, ссылочку дадите, где такое подразумевание зафиксировано?

[evgeniy]

$\frac{\partial s_2}{\partial \theta}=\sqrt{\sum_{l=1}^3(\frac{\partial x_l}{\partial \theta})^2}$
Где ВЫ взяли форму
$ds_1^2+sins_1ds_2^2$
у меня совсем другая форма
$ds_1^2+ds_2^2$
Спектр по одной переменной дискретный.
В Погорелове теоремы о кривизне кривой даются для регулярной поверхности и для задании функции $\vec r=\vec r (u,v)$, трехмерную функцию можно задать в таком виде только для замкнутой поверхности.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #418828 писал(а):

у меня совсем другая форма
$ds_1^2+ds_2^2$

Ошибка. Вам уже показали, что это не так. И опять же, смешанные производные Вы все равно потеряли.

Цитата:

Спектр по одной переменной дискретный.

Спектр сферического Лапласиана получился непрерывный. Неверно.

evgeniy в сообщении #418828 писал(а):

для задании функции $\vec r=\vec r (u,v)$, трехмерную функцию можно задать в таком виде только для замкнутой поверхности.

Неправда. Ваше измышление. Где это написано?

[AKM]

Почти-оффтопик, который завели в чужой теме гг. Time и В.О., отделён сюда.

[Time]

AKM в сообщении #420008 писал(а):

Почти-оффтопик, который завели в чужой теме гг. Time и В.О., отделён.
Будет в отдельной теме.

Если хотите, можно назвать это отделение "Сферическая система координат на индикатрисе".

[evgeniy]

Определение связи с сферической системой координат следующее. Во первых надо модифицировать сферическую систему координат, задав ее в виде
$x_1=r|\sin\theta|\sin\varphi$
$x_2=r|\sin\theta|\cos\varphi$
$x_3=\cos\theta$
ПРичем угол $\theta$ меняется от нуля до пи, а потом движется в противоположном направлении, причем угол увеличивается от $\pi,2\pi$, и так далее возрастая. При этом коэффициенты Ламе надо понимать в смысле обобщенных функций.
$\frac{\partial \sin\theta sign(|\sin\theta)|}{\partial \theta}=\cos\theta sign|\sin\theta|+\sin\theta\frac{\delta(\theta-k\pi)}{\cos\theta}=\cos\theta, x\delta(x)=0$.
При этом, при $x\ge 0,signx=1,x<0,signx=-1$.
При этом оказывается, что новые углы равны
$\varphi_1=\theta-2\pi$
$\varphi_2=\varphi-|\sin\theta|$
12d3 при изменении $\theta$ согласно этим формулам изменяется как угол $\varphi_1$, один за счет вращения, а угол $\varphi_2$ меняется за счет изменения периода огибания. Но не надо брать производную по величине $|\sin\theta|$, в этом нет необходимости, это непрерывная функция от которой зависит решение. НО она не регулярная, поэтому теоремы гауcса о кривизне к ней не применима. При этом, эта эти углы периодические, т.е. разлагать неизвестные функции надо в ряд Фурье, а не в интеграл Фурье.

[AKM]

evgeniy,

призываю Вас писать по ТеХовски правильнее и красивше: \sin x, \cos\theta.
Про sign не помню, но не sqn же (у Вас через Q). Если, конечно, это он.
До 17:19 Вы можете поправить и своё последнее сообщение (пока кнопка Правка активна)

[evgeniy]

shwedka Общий вид метрического интервала в случае ортогональных огибающих
$ds_1^2+ds_2^2$
И никаких других членов и коэффициентов нет. Далее предлагается искать эти члены в виде $ds_l=Rd\varphi_l$ и если углы $\varphi_l$ можно будет определить, то величина $ds_l$ вычислена.
так как одна переменная периодическая, то имеется одинпериодический спектр. А так как, в связи с уточненым разложением, спектр получился периодическим по обоим перменным.
Что Вы имеется под выражением, что спектр решения дискретен. То, что он дискретен по частоте, или дискретное разложение в виде формулы из дискретных членов. Главное получить значение функции решения, и не важно эта функция образована интегралом, или рядом.
Теперь по поводу $\vec r=\vec r(u,v)$. дело в том, что это регулярные функции, а для регулярных функций это равенство невозможно. Его надо представить в виде

$$x_3=g(x_1,x_2)\qquad\eqno(1)$$

но дело в том, что для регулярных функций обратное преобразование к преобразованию $x_l=x_l(u,v),l=1,2$
существует не всегда, определитель Якоби обращается в ноль, и значит, обратное преобразование не существует. т.е. функция (1) не регулярная, и теорема Гаусса не применима.
значит область определения u,v конечна.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #421806 писал(а):

shwedka Общий вид метрического интервала в случае ортогональных огибающих
$ds_1^2+ds_2^2$

Неверно. Приведите вычисления, и я покажу ошибку.
Тем более, Вам уже указали на правильный ответ со всемуи расчетами.

12d3 в сообщении #418802 писал(а):

Спасибо. Если явно подсчитать эти интегральчики, получатся такие выражения:
$s_1 = R \theta$
$s_2 = R \sin{ \theta}\, \varphi$
Но тогда равенство $ds^2 = dR^2 + ds_1^2 + ds_2^2$ не выполняется, потому что $ds_1 = \theta dR + R d \theta,\,\,\,\,ds_2 = \sin {\theta} \varphi dR + R \cos{\theta} \varphi d \theta + R \sin{\theta} d \varphi$.

evgeniy в сообщении #421806 писал(а):

Что Вы имеется под выражением, что спектр решения дискретен.

спектр решения: я таких слов не употреблляла, это Ваше измышление.
Речь идет о спектре сферического Лапласиана.
Лапласиан на сфере имеет спектр, состоячий из изолированных собственных значений, Не знаете, что такое спектр Лапласиана, почитайте в учебниках.

evgeniy в сообщении #421806 писал(а):

Теперь по поводу $\vec r=\vec r(u,v)$. дело в том, что это регулярные функции, а для регулярных функций это равенство невозможно. Его надо представить в виде

$$x_3=g(x_1,x_2)\qquad\eqno(1)$$

Ваше личное измышление. С чего Вы это взяли, что 'надо'? Цитату, пожалуйста!

-- Пт мар 11, 2011 15:44:06 --

evgeniy в сообщении #421794 писал(а):

Но не надо брать производную по величине $|\sin\theta|$, в этом нет необходимости, это непрерывная функция от которой зависит решение.

Это все разговоры с размахиванием руками. приведите вычисления, получите указание ошибки. Прежде, чем говорить о решениях в новых коодтинатах, нужно осуществить переход к новым координатам, причем сделать это правильно, по формулам производных сложной функции, а не потолочным методом.

-- Пт мар 11, 2011 15:46:50 --

evgeniy в сообщении #421806 писал(а):

теорема Гаусса не применима

Узнав о теореме Гаусса две недели назад, вы уже категоричеки судите о ее неприменимости. Не слишком ли смело!

[evgeniy]

Проводим касательную плоскость и для двух ортогональных направлений на касательной плоскорсти строим локальную систему координат. На касательной плоскости имеем величину $ds_l$. На поверхности тела надо добавить $B_{lpq}ds_pds_q$. Возводим величину приращения в квадрат, получим $(ds_l+B_{lpq}ds_pds_q+...)^2=ds_l^2+2B_{lpq}ds_lds_pds_q+... $, т.е. для бесконечно малых второго порядка получаем требуемый результат.
Замените слова надо, на слово можно и получите что раз можно представить в таком виде, то координата $x_3(x_1,x_2)$ должна быть регулярна.
Про спектр Лапласиана я не слышал, пожалуйста литературу, желательно в интернете. Если это есть в учебниках по математической физике, то для меня это довольно странно. Казалось бы получил решение в виде ряда или в виде интеграла нет никакой разницы.
Да Вы еще не раскритиковали мое предыдущее сообщение, их было два.