2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Точка в двугранном угле
Сообщение23.02.2011, 00:33 
Заслуженный участник


05/02/11
1290
Москва
Хочу развлечь физическое общество.
Имеется двугранный угол с заданным раствором $\alpha$. На расстоянии $L$ от линии пересечения плоскостей двугранного угла находится материальная точка. В начальный момент она имеет скорость$\vec v$, угол между которой и перпендикуляром к линии пересечения составляет угол $\phi$ (меньше $\leqslaut \pi/2$). Плоскость, образованная перпендикуляром $\vec L$и вектором $\vec v$, повёрнута относительно линии пересечения на угол $\beta$. Соударения точки о плоскости - абсолютно упругие. Требуется найти:
1. Минимальное расстояние, на которое тело приблизится к линии пересечения.
2. Общее число соударений точки о плоскости.

 Профиль  
                  
 
 Re: Точка в двугранном угле
Сообщение28.02.2011, 05:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12999
dovlato в сообщении #415941 писал(а):
На расстоянии $L$ от линии пересечения плоскостей двугранного угла находится материальная точка.

Где-то на дуге, значит...
dovlato в сообщении #415941 писал(а):
В начальный момент она имеет скорость$\vec v$, угол между которой и перпендикуляром к линии пересечения составляет угол $\phi$ (меньше $\leqslaut \pi/2$).

В каком-то из двух конусов, значит...
dovlato в сообщении #415941 писал(а):
Плоскость, образованная перпендикуляром $\vec L$и вектором $\vec v$, повёрнута относительно линии пересечения на угол $\beta$.

А это уже легче: от двух конусов осталось всего четыре возможных направления скорости...

 Профиль  
                  
 
 Re: Точка в двугранном угле
Сообщение28.02.2011, 08:29 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Ну давайте начнём с того, что никаких двугранных углов нет -- всё фактически происходит в плоскости.

 Профиль  
                  
 
 Re: Точка в двугранном угле
Сообщение28.02.2011, 16:10 
Заслуженный участник


05/02/11
1290
Москва
ewert в сообщении #418213 писал(а):
Ну давайте начнём с того, что никаких двугранных углов нет -- всё фактически происходит в плоскости.

Неее-еет.. Можно представить себе плоскость, перегнутую пополам по какой-то линии сгиба, прямой конечно. Образуется двугранный угол. Острый. Ну и пусть например, между его полуплоскостями 10, 20, 30 или сколько захотите градусов. И вот между этими полуплоскостями обретается точка, которая в данный момент летит куда-то внутрь этого угла, но, скорее всего, не прямиком в линию сгиба, а попадает в одну из полуплоскостей. Удары точки об эти плоские поверхности - абсолютно упругие.
Дак. Задано начальное расстояние точки от линии сгиба. Задан вектор начальной скорости $\vec v_0$.
Требуется доказать, что минимальное расстояние между точкой и линией сгиба будет равно расстоянию между скрещивающимися прямыми: линией сгиба и прямой, на которой лежит $\vec v_0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Точка в двугранном угле
Сообщение28.02.2011, 17:13 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Ну это банально. Надо просто примкнуть к этому двугранному углу ещё $n$ таких же углов, где $\gamma+n\alpha\geqslant\pi$, но $\gamma+(n-1)\alpha<\pi$$\gamma$ -- это угол между гранью и проекцией начальной траектории на плоскость, перпендикулярную граням). И прошить всю эту конструкцию продолжением траектории. Тогда $n$ -- это и будет количество столкновений.

С ровно тем же успехом можно было с самого начала спроецировать всё на ту самую перпендикулярную плоскость, гордо проигнорировав равномерное движение в направлении, параллельном линии сгиба.

 Профиль  
                  
 
 Re: Точка в двугранном угле
Сообщение28.02.2011, 17:31 
Заслуженный участник


05/02/11
1290
Москва
ewert в сообщении #418362 писал(а):
И прошить всю эту конструкцию продолжением траектории.

Я же и говорил - развлечь). Кстати, так же можно решать и в том случае, если на сгибе находится гравитирующая точечная масса; в этом случае плоскости будут протыкаться кеплеровской орбитой (либо гиперболой). Наконец, может гравитировать однородно тяжёлая линия сгиба..я, правда, не знаю, каково решение для аксиальной задачи, но не сомневаюсь - оно какое-то есть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Точка в двугранном угле
Сообщение28.02.2011, 19:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12999

(Оффтоп)

dovlato в сообщении #418369 писал(а):
Я же и говорил - развлечь).

Невнятностью постановки задачи?

 Профиль  
                  
 
 Re: Точка в двугранном угле
Сообщение28.02.2011, 20:06 
Заслуженный участник


05/02/11
1290
Москва
Утундрий в сообщении #418400 писал(а):
Невнятностью постановки задачи?

Ну вот как сумел((. А задача мне самому нравится. По существу, расчётов никаких.

 Профиль  
                  
 
 Re: Точка в двугранном угле
Сообщение28.02.2011, 20:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12999
dovlato в сообщении #418432 писал(а):
По существу, расчётов никаких.

Дык, симметрия, будь она неладна. Но где симметрия - там не интересно, а где интересно - там нет симметрии.

 Профиль  
                  
 
 Re: Точка в двугранном угле
Сообщение28.02.2011, 20:33 
Заслуженный участник


05/02/11
1290
Москва
Утундрий в сообщении #418435 писал(а):
Но где симметрия - там не интересно, а где интересно - там нет симметрии.

Спорить не возьмусь, а согласиться тоже не смогу. В конце концов, идея симметрии - в центре физики.
Кстати, у меня есть подозрение, что шарик в "той самой" яме достигнет левого или правого края тогда и только тогда, когда он пересекает ось симметрии ямы:
- либо ударившись в нижнюю её точку;
- либо находясь в этот момент в вершине одной из парабол.
Дык, симметрия)).. То, что это условие достаточно - ясно. А вот насчёт необходимости не ведаю.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: drzewo


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group