Точка в двугранном угле

[dovlato]

Хочу развлечь физическое общество.
Имеется двугранный угол с заданным раствором $\alpha$. На расстоянии $L$ от линии пересечения плоскостей двугранного угла находится материальная точка. В начальный момент она имеет скорость$\vec v$, угол между которой и перпендикуляром к линии пересечения составляет угол $\phi$ (меньше $\leqslaut \pi/2$). Плоскость, образованная перпендикуляром $\vec L$и вектором $\vec v$, повёрнута относительно линии пересечения на угол $\beta$. Соударения точки о плоскости - абсолютно упругие. Требуется найти:
1. Минимальное расстояние, на которое тело приблизится к линии пересечения.
2. Общее число соударений точки о плоскости.

[Утундрий]

dovlato в сообщении #415941 писал(а):

На расстоянии $L$ от линии пересечения плоскостей двугранного угла находится материальная точка.

Где-то на дуге, значит...

dovlato в сообщении #415941 писал(а):

В начальный момент она имеет скорость$\vec v$, угол между которой и перпендикуляром к линии пересечения составляет угол $\phi$ (меньше $\leqslaut \pi/2$).

В каком-то из двух конусов, значит...

dovlato в сообщении #415941 писал(а):

Плоскость, образованная перпендикуляром $\vec L$и вектором $\vec v$, повёрнута относительно линии пересечения на угол $\beta$.

А это уже легче: от двух конусов осталось всего четыре возможных направления скорости...

[ewert]

Ну давайте начнём с того, что никаких двугранных углов нет -- всё фактически происходит в плоскости.

[dovlato]

ewert в сообщении #418213 писал(а):

Ну давайте начнём с того, что никаких двугранных углов нет -- всё фактически происходит в плоскости.

Неее-еет.. Можно представить себе плоскость, перегнутую пополам по какой-то линии сгиба, прямой конечно. Образуется двугранный угол. Острый. Ну и пусть например, между его полуплоскостями 10, 20, 30 или сколько захотите градусов. И вот между этими полуплоскостями обретается точка, которая в данный момент летит куда-то внутрь этого угла, но, скорее всего, не прямиком в линию сгиба, а попадает в одну из полуплоскостей. Удары точки об эти плоские поверхности - абсолютно упругие.
Дак. Задано начальное расстояние точки от линии сгиба. Задан вектор начальной скорости $\vec v_0$.
Требуется доказать, что минимальное расстояние между точкой и линией сгиба будет равно расстоянию между скрещивающимися прямыми: линией сгиба и прямой, на которой лежит $\vec v_0$.

[ewert]

Ну это банально. Надо просто примкнуть к этому двугранному углу ещё $n$ таких же углов, где $\gamma+n\alpha\geqslant\pi$, но $\gamma+(n-1)\alpha<\pi$ (а $\gamma$ -- это угол между гранью и проекцией начальной траектории на плоскость, перпендикулярную граням). И прошить всю эту конструкцию продолжением траектории. Тогда $n$ -- это и будет количество столкновений.

С ровно тем же успехом можно было с самого начала спроецировать всё на ту самую перпендикулярную плоскость, гордо проигнорировав равномерное движение в направлении, параллельном линии сгиба.

[dovlato]

ewert в сообщении #418362 писал(а):

И прошить всю эту конструкцию продолжением траектории.

Я же и говорил - развлечь). Кстати, так же можно решать и в том случае, если на сгибе находится гравитирующая точечная масса; в этом случае плоскости будут протыкаться кеплеровской орбитой (либо гиперболой). Наконец, может гравитировать однородно тяжёлая линия сгиба..я, правда, не знаю, каково решение для аксиальной задачи, но не сомневаюсь - оно какое-то есть.

[Утундрий]

(Оффтоп)

dovlato в сообщении #418369 писал(а):

Я же и говорил - развлечь).

Невнятностью постановки задачи?

[dovlato]

Утундрий в сообщении #418400 писал(а):

Невнятностью постановки задачи?

Ну вот как сумел((. А задача мне самому нравится. По существу, расчётов никаких.

[Утундрий]

dovlato в сообщении #418432 писал(а):

По существу, расчётов никаких.

Дык, симметрия, будь она неладна. Но где симметрия - там не интересно, а где интересно - там нет симметрии.

[dovlato]

Утундрий в сообщении #418435 писал(а):

Но где симметрия - там не интересно, а где интересно - там нет симметрии.

Спорить не возьмусь, а согласиться тоже не смогу. В конце концов, идея симметрии - в центре физики.
Кстати, у меня есть подозрение, что шарик в "той самой" яме достигнет левого или правого края тогда и только тогда, когда он пересекает ось симметрии ямы:
- либо ударившись в нижнюю её точку;
- либо находясь в этот момент в вершине одной из парабол.
Дык, симметрия)).. То, что это условие достаточно - ясно. А вот насчёт необходимости не ведаю.