Сходимость ряда

[SpBTimes]

Пусть ряд
$\sum_{n = 1}^{\infty} a_n$ = \infty - расходится, все члены ряда положительны
Доказать, что
$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{a_n}{(s_n)^2} $ сходится, где
$s_n = \sum_{n = 1}^{n} a_n$

Убил почти пол-дня на эту задачу. Пробовал и Даламбером, и Раабе, и Гауссом (непонятные соотношения в пределе вылезают). Оценка не спасает.
Можно попробовать взять минимальный из расходящихся рядов - гармонический. Тогда общий член сходящегося ряда будет выглядеть так: $\frac{1}{n(\ln n)^2}$, который и правда сходится по инт. признаку Коши. Может как-то можно доказать, что взяв любой другой расходящийся ряд, его соотношение $\frac{a_n}{(s_n)^2}$ будет меньше?

[ИСН]

Гармонический не минимальный. Минимального нет.

[SpBTimes]

Я порядок имел в виду. Константы, конечно, могут быть разные

[ИСН]

Я тоже имел в виду порядок.

-- Пн, 2011-02-28, 01:37 --

Вы вообще думаете не о том. Это не из области признаков. Это оттуда же, что и post270473.html

[svv]

$$\frac{a_n}{(s_n)^2}= \frac{s_n-s_{n-1}}{(s_n)^2}<\frac{s_n-s_{n-1}}{s_{n-1} s_n}=\frac 1 {s_{n-1}}-\frac 1 {s_n}$$

$$\sum \limits_{n=2}^N \frac{a_n}{(s_n)^2} < \sum \limits_{n=2}^N \left(\frac 1 {s_{n-1}}-\frac 1 {s_n} \right) = \frac 1 {s_1} - \frac 1 {s_N}$$

[SpBTimes]

ИСН
Спасибо, после наводки вчера вечером получилось почти то же, что и у svv
svv
Спасибо!

[svv]

Не за что. Кстати, теперь видно, что не имеет значения, расходится ряд с положительными $a_n$ или нет.
Будет $s_n$ стремиться к бесконечности или не будет -- всё равно наш основной ряд сходится.

[Руст]

svv в сообщении #418275 писал(а):

Не за что. Кстати, теперь видно, что не имеет значения, расходится ряд с положительными $a_n$ или нет.
Будет $s_n$ стремиться к бесконечности или не будет -- всё равно наш основной ряд сходится.

Как это сходится, если члены ряда не стремятся к нулю.

[SpBTimes]

Руст
Как это не стремятся? Если исходный сходится, то $a_n$ идёт к $0$ при $n$ к $\infty$
И частичные суммы ещё ограничены, а значит второй ряд - это просто константа, умноженная на первый.

[Руст]

Даже если члены ряда $a_n$ не положительны, то $\sum_n \frac{a_n}{s_n}$ сходится, если $s_n\to \pm \infty $ не зависимо от того сходится первоначальный ряд или нет. Однако, если ряд расходится то нужно, чтобы $s_n\to \pm \infty$. Конечно в случае знакоопределенности членов ряда это имеет место.

[SpBTimes]

А, вы это имели в виду. Конечно, svv просто не показал, какие утв. должны выполняться одновременно

[svv]

Руст, я написал, что рассматриваю случай положительных $a_n$ -- который и в условии задачи.