Целое среднее геометрическое или "Нет квадратам - II"

[Xenia1996]

Эта задача очень похожа на задачу "Нет квадратам"


Существует ли

а) 2011

б) бесконечное множество

попарно различных натуральных чисел таких, что среднее геометрическое любых нескольких (конечного непустого подмножества) из этих чисел является целым числом?

В пункте а) достаточно взять 2011 попарно различных степеней двойки, показатель каждой из которых дарамдаш остаток 1 при делении на $2011!$. Тогда каждое число является целым, произведение любых двух является квадратом, любых трёх - кубом, ..., всех 2011 - 2011-ой степенью.

В пункте б) я, к сожалению, забуксовала. Никак не могу построить требуемое бесконечное множество.

Наведите, пожалуйста, на мысль.

Заранее благодарна!

[ИСН]

Я так понимаю, в условии подразумевалось "не являющихся квадратами"?

[Xenia1996]

ИСН в сообщении #416966 писал(а):

Я так понимаю, в условии подразумевалось "не являющихся квадратами"?

Не подразумевалось, но ведь всегда найдётся место для импровизации!

[ИСН]

А, впрочем, неважно.
Будем смотреть на показатели. Есть ли такой бесконечный набор натуральных чисел (можно сколько-то одинаковых, лишь бы не все), чтобы среднее арифметическое любой выборки было целым?

-- Пт, 2011-02-25, 00:23 --

Допустим, в этом наборе есть два разных числа: a и b.

-- Пт, 2011-02-25, 00:25 --

Возьмём какие-нибудь выборки из двух, трёх, и т.д. чисел, содержащие a, но не содержащие b. Среднее у них целое? Так. Хорошо. А теперь во всех выборках заменим a на b.

-- Пт, 2011-02-25, 00:25 --

Вот в общем-то и всё.

[Xenia1996]

ИСН в сообщении #416987 писал(а):

А, впрочем, неважно.
Будем смотреть на показатели. Есть ли такой бесконечный набор натуральных чисел (можно сколько-то одинаковых, лишь бы не все), чтобы среднее арифметическое любой выборки было целым?

-- Пт, 2011-02-25, 00:23 --

Допустим, в этом наборе есть два разных числа: a и b.

-- Пт, 2011-02-25, 00:25 --

Возьмём какие-нибудь выборки из двух, трёх, и т.д. чисел, содержащие a, но не содержащие b. Среднее у них целое? Так. Хорошо. А теперь во всех выборках заменим a на b.

-- Пт, 2011-02-25, 00:25 --

Вот в общем-то и всё.

Мне почему-то и в голову не пришло, что ответ на пункт б) не обязан быть положительным. Вот я и пыхтела, пытаясь доказать, что дважды два - пять