Значение Пи - математический или эмпирический факт?

[PAV]

Штука - это, в известном смысле, тоже размерность.

Просто если сказать "энтропия равна 4" - это сколько? Пока не добавить, в каких единицах энтропия измерена, непонятно.

[AlexDem]

$v = \lambda \nu$,
где:
$\lambda$ - длина волны, м
$\nu$ - частота, Гц = 1/сек
$v$ - скорость фронта волны, м/сек.

Если штуки включаем в размерность, то $\nu$ меряем в "волна/сек", а скорость волны - "волна*м/сек". Если другое тело (не волна) движется по поверхности воды навстречу этой волне, то его скорость - просто "м/сек", так что эти две скорости складывать нельзя...

Так же непонятно, если сказать "1 кг". Один килограмм чего? Допустим яблок. Тогда надо писать "1 кг яблок", но размерность из этого - только "кг". А то окажется, что мы не знаем, сколько весит авоська с 1 кг яблок + 1 кг груш.

Хотя, интересно, какую размерность в такой нотации имеют фундаментальные безразмерные константы?..

[PAV]

В числителе у частоты стоит количество (периодов).

Характеристику можно не включать в размерность, если она никогда меняться не будет. А если у нас бывают "штуки", а бывают "коробки" (по сколько-то штук в каждой), то придется указывать, о каком количестве мы говорим.

С точки зрения физики достаточно только веса и вовсе не нужно указывать, что представляет собой измеряемый объект. Если у Вас есть черный ящик, то Вы не знаете, лежат ли в нем яблоки или груши, но это совершенно не мешает говорить о его весе.

[AlexDem]

PAV писал(а):

Характеристику можно не включать в размерность, если она никогда меняться не будет. А если у нас бывают "штуки", а бывают "коробки" (по сколько-то штук в каждой), то придется указывать, о каком количестве мы говорим.

С этим я согласен, но если штуки и коробки имели бы разную размерность, то складывать их было бы нельзя, как нельзя сложить килограммы с метрами.

Вообще, тут есть какой-то смысл, касающийся выбора значения 1 на числовой оси. Просто любое число, например 41, мы можем записать как

$$\frac {41 \text{ шт}} {1 \text{ шт}} = 41$$

, где штуки просто сокращаются...

[PAV]

Ну да, это верно. Фиксация размерности действительно есть в точности фиксация единицы на числовой оси. После этого все числа реально выражаются в терминах этой единицы.

[AlexDem]

Ну, тогда в этом смысле энтропия имеет размерность. В случае двоичного логарифма это будет бит/символ. И биты, и символы можно посчитать в штуках, а размерность - сократить

[geomath]

Вот, калькулятор cepesh подсчитывает теперь и энтропию, бит$/\sqrt2$.

http://cepesh.mexmat.ru/scripts/lexic_calc.php

Для пробы взял "Отношение длины окружности к диаметру обозначается греческой буквой пи". Энтропия 3.00.

Добавил для определенности уточняющую информацию: "Отношение длины окружности к диаметру этой окружности обозначается греческой буквой пи". Энтропия 2.99, уменьшилась.

Замечательно.

[esperanto]

незваный гость писал(а):

:evil:

LymonAdd писал(а):

Вроде же так? Вот чем не связь глобальных консант мира?

И это не так. И в формуле ошибка. ${\rm e}^{{\rm i} \pi} = -1$

так лучше
${\rm e}^{{\rm i} \pi} +1= 0$

Добавлено спустя 6 минут 35 секунд:

бобыль писал(а):

Тут на форуме уже упоминалась задача Чебышева "Какова вероятность того, что наудачу выбранная дробь несократима?", ответ в которой $\frac{6}{\pi^2}$. В 1995 г. один программист использовал эту формулу для вычисления $\pi$ из наблюдательных данных и написал письмо "Pi in the sky" в Nature.

http://ourworld.compuserve.com/homepages/rajm/pinature.htm

И что примечательно, у него получилось 3.12777, т.е. заметно меньше $\pi$. Интересно, почему?

Во-первых нельзя из всех дробей выбрать равновероятно ( наудачу) дробь.

Во-вторых автор утверждает что пи=3.12777 с вероятностью такой-то. Очень странно, для точечных оценок непрерывных величин вероятность вроде как правило 0.

[geomath]

esperanto, мир! Нельзя допустить, чтобы и эту тему закрыли!

Добавлено спустя 2 часа 18 минут 57 секунд:

Цифры в записи конкретного числа встречаются с разной частотой, отсюда можно посчитать его энтропию. Похоже, что энтропия пи будет максимальной (как и любого другого нормального числа, хотя нормальность пи строго не доказана). В этом смысле число пи, действительно, менее интересно, чем рациональные числа вроде 40/9. Зато у пи есть то преимущество, что его начальные цифры помнят наизусть как эталонные...

Возьмем такой вопрос (из другой темы).

Цитата:

Ужель мне скоро СКОЛЬКО лет?

Если поступает дополнительная информация, что ответ должен быть записан столь же "складно", здесь ямбом, то для СКОЛЬКО остается всего шесть возможностей: 8, 9, 10, 20, 30 и 40. И неопределенность сразу сильно уменьшается. И вообще, энтропия поэзии должна быть меньше, чем прозы. Отсюда (деля энтропию на корень из двух) получим и разные приближения пи. Зачем? Чтобы почувствовать разницу!

[geomath]

Прибавь четыре к сотне и умножь на восемь,
Да шестьдесят две тысячи потом еще прибавь.
Когда поделишь результат на двадцать тысяч,
Тогда откроется тебе значенье
Длины окружности к двум радиусам отношенья.

Ариабхата,
индийский астроном и математик VI в.

$\frac{62832}{20000}=3.1416$

[geomath]

Смотрите, вместо того чтобы запомнить несчастные цифры 31416, Ариабхата предлагает помнить целых пять чисел: 4, 100, 8, 62 000 и 20 000, да еще алгоритм! Что это за числа такие? Может, это шифровка?

По сравнению с 3.1416 пи "греческое" 22/7 ~ 3.14 несколько хуже, но уже 311/99 = 3.14(14) хуже не намного, а пи "китайское" 355/113 = 3.141592... даже лучше. Почему Ариабхата до этого как бы не додумался?

[geomath]

Тут выше значение пи = $3\frac{1}{8}$ предлагалось называть пи московским. Однако оно было известно еще Витрувию, римскому архитектору и инженеру 2-й пол. 1 в. до н.э., написавшему "Десять книг об архитектуре" - единственный полностью дошедший до нас антич. арх. трактат, как сказано в энциклопедии. Почти забытый в ср. века, с 15 в. этот трактат внимательно изучался, переводился на мн. языки и сыграл в 17-18 вв. большую роль в выработке канонич. форм арх. ордера.

Поэтому пи = $3\frac{1}{8}$ можно было бы назвать пи римским, но боюсь фоменки смеяться будет. И будут правы.

[Garik2]

Самое красивое, на мой взгляд, разложение в такое прозведение:

$$\frac \pi 2 = \frac 2 1 \cdot \frac 2 3 \cdot \frac 4 3 \cdot \frac 4 5 \cdot \frac 6 5 \cdot \frac 6 7 \cdot \frac 8 7 ...$$

Что тут интересно? Когда идешь слева направо зигзагами от числителя к знаменателю и наоборот, то имеет место натуральный ряд чисел! Тут не надо ни думать, ни напрягаться - просто пишешь числа подряд и все точнее и точнее представляешь великую константу.

[infoliokrat]

Garik2 в сообщении #273838 писал(а):

Самое красивое, на мой взгляд, разложение в такое прозведение:

$$\frac \pi 2 = \frac 2 1 \cdot \frac 2 3 \cdot \frac 4 3 \cdot \frac 4 5 \cdot \frac 6 5 \cdot \frac 6 7 \cdot \frac 8 7 ...$$

Что тут интересно? ... .

Это было бы "Самое красивое, на мой взгляд, " завершение темы, и вот почему:
дата поста 21, месяц- завершающий, и год- тоже неплохо звучит. Но, прочитав все 5 страниц, понял- Земля - круглая (для непрофессионалов), имеет отношение к кругу, поэтому в 10 году можно продолжить.
Например, где-то на первых страницах упоминалось, что для многих Европа - плоскоЕвклидова, а Россия- Лобачевского больше уважает.
Наверное потому, что если провести на местности "прямую", самую длинную в Европе и сравнить с самой длинной прямой, возможной на территории России, то различие (не только в константах) станет очень видным.
Кстати, а какое количество знаков после запятой (вообще) имеет в масштабах Земли или Вселенной смысл практический? З павагай= уважением

[Garik2]

Заканчивать рано! Вот что обнаружил я по поводу приведенной формулы Валлиса. Она для вычисления великой константы малопригодна, так как сходимость чрезвычайно медленная. Но если чуточку подкорректировать "хвостик" формулы, то точность увеличится ни много ни мало - аж в 100000 раз! Вы где-нибудь такое видели? В статье по ссылке <http://traditio.ru/wiki/Формула_Валлиса-Александрова> это наглядно доказывается. Сперва не поверил - проверил. Все оказалось верным. А вы говорите закрывать!