В книге Френкеля «Основания теории множеств» на страницах 61-62 есть теорема 4: «Для каждого расчлененного множества

существует вполне определенное множество, членами которого являются в точности все те множества, которые содержат по единственному члену из каждого члена

.»
Весь разговор ведет
до аксиомы выбора. Вот доказательство этой теоремы на странице 62: «Поскольку члены искомого множества суть некоторые подмножества

, мы будем исходить из множества-степени множества

, т. е. из

, существующего согласно аксиомам III и IV. Пусть условием

будет ‘

и для каждого

пересечения

есть единичное множество', или, иначе говоря, 'подмножество множества

, содержащее в точности такие члены

, пересечение каждого из которых с

содержит единственный член, равно самому множеству

'. Тогда по аксиоме V существует множество

; его членами являются те подмножества

, которые содержат в точности по одному члену из каждого члена

.»
Существование подмножества

, которое содержит в точности по одному члену из каждого члена

, возможно только по аксиоме выбора. Случай, когда один из членов

пуст очевиден и разобран на той же странице. Более того, на странице 64 написано: «По теореме 4 (стр. 62), существует декартово произведение

; его члены (если таковые имеются) суть такие подмножества

пересечения каждого из которых с каждым членом

суть единичные множества. Возникает вопрос, может ли в этом случае

оказаться пустым множеством

. Доказательство теоремы 4, показывающее лишь, что

влечет

, на этот вопрос не отвечает.»
Но

-- декартово произведение. И я не могу понять что же в теореме 4 доказывается, если существование элементов этого множества под вопросом. Естественно, после расширения системы аксиом аксиомой выбора всё становится на свои места. Но теорема 4 доказана
до этого и без аксиомы выбора (кстати, почему приведенное доказательство приемлемо для меня тоже вопрос).