Существование декартова произведения

[Виктор Викторов]

В книге Френкеля «Основания теории множеств» на страницах 61-62 есть теорема 4: «Для каждого расчлененного множества $t$ существует вполне определенное множество, членами которого являются в точности все те множества, которые содержат по единственному члену из каждого члена $t$.»
Весь разговор ведет до аксиомы выбора. Вот доказательство этой теоремы на странице 62: «Поскольку члены искомого множества суть некоторые подмножества $\cup t$, мы будем исходить из множества-степени множества $\cup t$, т. е. из $C\cup t=U$, существующего согласно аксиомам III и IV. Пусть условием $B(x)$ будет ‘$x\in U$ и для каждого $\tau \in t$ пересечения $\tau \cap x$ есть единичное множество', или, иначе говоря, 'подмножество множества $t$, содержащее в точности такие члены $t$, пересечение каждого из которых с $x$ содержит единственный член, равно самому множеству $t$'. Тогда по аксиоме V существует множество $U_B \subset U$; его членами являются те подмножества $\cup t$, которые содержат в точности по одному члену из каждого члена $t$.»
Существование подмножества $\cup t$, которое содержит в точности по одному члену из каждого члена $t$, возможно только по аксиоме выбора. Случай, когда один из членов $t$ пуст очевиден и разобран на той же странице. Более того, на странице 64 написано: «По теореме 4 (стр. 62), существует декартово произведение $Pt$; его члены (если таковые имеются) суть такие подмножества $\cup t$ пересечения каждого из которых с каждым членом $t$ суть единичные множества. Возникает вопрос, может ли в этом случае $Pt$ оказаться пустым множеством $O$. Доказательство теоремы 4, показывающее лишь, что $O\in t$ влечет $Pt=O$, на этот вопрос не отвечает.»
Но $Pt$ -- декартово произведение. И я не могу понять что же в теореме 4 доказывается, если существование элементов этого множества под вопросом. Естественно, после расширения системы аксиом аксиомой выбора всё становится на свои места. Но теорема 4 доказана до этого и без аксиомы выбора (кстати, почему приведенное доказательство приемлемо для меня тоже вопрос).

[Someone]

Виктор Викторов в сообщении #415956 писал(а):

И я не могу понять что же в теореме 4 доказывается, если существование элементов этого множества под вопросом.

Доказывается существование произведения множеств, не больше и не меньше. О существовании элементов этого произведения в теореме ничего не утверждается, и оно может оказаться пустым.

Собственно говоря, непустота произведения произвольного множества непустых множеств равносильна аксиоме выбора.

[Виктор Викторов]

Someone в сообщении #416490 писал(а):

Собственно говоря, непустота произведения произвольного множества непустых множеств равносильна аксиоме выбора.

Это я понимаю. Тут нет никаких проблем.

Someone в сообщении #416490 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #415956 писал(а):

И я не могу понять что же в теореме 4 доказывается, если существование элементов этого множества под вопросом.

Доказывается существование произведения множеств, не больше и не меньше. О существовании элементов этого произведения в теореме ничего не утверждается, и оно может оказаться пустым.

А вот тут я понимаю только кусок «и оно может оказаться пустым». Дано определение некоторого множества (т. е. расписано как выглядят все его элементы). Если они (элементы) существуют, то (сверившись с аксиомам ZFC) и множество существует. В противном случае оно пусто. В нашем случае есть три варианта:
1. Один из сомножителей пуст – прямое произведение пусто.
2. Можно указать правило, как выбрать ровно один элемент из каждого сомножителя (допустим, каждый сомножитель вполне упорядочен: выбрать первый элемент).
3. Использовать аксиому выбора.
Так о чем же эта теорема? Существование прямого произведения – вопрос одного из этих случаев.

[AGu]

Виктор Викторов в сообщении #416504 писал(а):

Дано определение некоторого множества (т. е. расписано как выглядят все его элементы).

... и доказано его существование.

Виктор Викторов писал(а):

Если они (элементы) существуют, то (сверившись с аксиомам ZFC) и множество существует. В противном случае оно пусто.

... и тоже существует. Оно всегда существует.

Не знаю, поможет ли вот такая аналогия...

В ZFC невозможно ни доказать, ни опровергнуть существование множества $X\in\mathcal P(\mathbb R)$ со свойством $|\mathbb N|<|X|<|\mathbb R|$.
Т.е., грубо говоря, мы "не знаем", существует ли хотя бы одно множество $X$ с таким свойством.
Тем не менее мы "знаем" (т.е. можем доказать в ZFC), что множество всех таких множеств $X$ существует,
т.е. существует множество $\mathcal X:=\{X\in\mathcal P(\mathbb R):|\mathbb N|<|X|<|\mathbb R|\}$.
(Это сразу следует из существования $\mathcal P(\mathbb R)$ и принципа выделения.)
В ZFC невозможно ни доказать, ни опровергнуть равенство $\mathcal X=\varnothing$, но насчет существования $\mathcal X$ у ZFC нет никаких сомнений.

[Someone]

Виктор Викторов в сообщении #416504 писал(а):

Если они (элементы) существуют, то (сверившись с аксиомам ZFC) и множество существует.

А если элементы не существуют, то (сверившись с аксиомами ZFC) множество всё равно существует, но оно пустое.

[Виктор Викторов]

AGu в сообщении #416517 писал(а):

В ZFC невозможно ни доказать, ни опровергнуть существование множества $X\in\mathcal P(\mathbb R)$ со свойством $|\mathbb N|<|X|<|\mathbb R|$.
Т.е., грубо говоря, мы "не знаем", существует ли хотя бы одно множество $X$ с таким свойством.
Тем не менее мы "знаем" (т.е. можем доказать в ZFC), что множество всех таких множеств $X$ существует,
т.е. существует множество $\mathcal X:=\{X\in\mathcal P(\mathbb R):|\mathbb N|<|X|<|\mathbb R|\}$.
(Это сразу следует из существования $\mathcal P(\mathbb R)$ и принципа выделения.)
В ZFC невозможно ни доказать, ни опровергнуть равенство $\mathcal X=\varnothing$, но насчет существования $\mathcal X$ у ZFC нет никаких сомнений.

Т. е. суть сводится к тому, что упомянутый в аксиоме выделения предикат «имеет смысл»? Скажем, не существует трехэлементное множество, имеющее пятиэлементное подмножество?
AGu! Рад Вас видеть. Вы давно не появлялись.

[AGu]

Виктор Викторов в сообщении #416649 писал(а):

Т. е. суть сводится к тому, что упомянутый в аксиоме выделения предикат «имеет смысл»?

Ага. Если имеется множество $X$, то какой бы дикой ни была теоретико-множественная формула $\varphi(x)$, множество $\{x\in X:\varphi(x)\}$ заведомо существует. (Это и есть тот самый «принцип выделения», который выводится из аксиом ZFC.)

[Виктор Викторов]

AGu и Someone!

Спасибо.