Вынужденные колебания вызванные вибрацией

[Konstantin(KOT)]

Добрый день, при решении задачи возникли сомнения.
Суть задачи в следующем:
Тело массой $m$ подпружиненно с двух сторон, жесткость пружин одинаковая и равна $c$, при движении на тело так же действует сила трения прямо пропорциональная скорости тела $m$, с коэффициентом пропорциональности $b$. Другими концами пружины прикреплены к основанию массой $m2$
На основание $m2$ воздействует синусоидальная вибрации частотой $f$ и амплитудой ускорения $A$. Необходимо определить закон перемещения тела $m$. Тело $m$ совершает возвратно поступательное движение вдоль оси симметрии пружин и имеет одну степень свободы. Перемещение тела $m$ ограничено основанием.

Мое решение:
Для начало определяю закон изменения положения основания под действием вибрации:
$\omega = 2\pi f$,
$a_{vib}(t) = A \sin \omega t$,
$v_{vib}(t) = - \frac {A} {\omega} \cos \omega t$,
$x_{vib}(t) = - \frac {A} {\omega^2} \sin \omega t$.
Так как перемещение основания $m2$ кинематически будет вызывать колебания тела $m$, записываю второй закон Ньютона(упрощение при выводе я опустил, сократятся предварительные сжатия пружин, так как жесткости их равны):
$ma = -2c(x - x_{vib}) + 2bv$
$ma - 2bv + 2cx = 2cx_v$
Дальше я так полагаю все как для обычной вынуждающей силы изменяющейся по синусоидальному закону,только с учетом ограничения перемещения тела $m$.

Только вот у меня сомнения в правильности полученного уравнения движения тела $m$ под действием вибрации с учетом ограничении перемещения тела. Что будет когда тело $m$ под действием испытываемого ускорения прижметься к основанию $m2$, можно ли использовать полученное из второго закона Ньютона уравнение движения??? возможно я чего то не учел, подскажите пожалуйста....

[erokha_lis]

Скажите, пожалуйста, а Вы уверены в корректности поставленной задачи? Ну, первый вопрос: пружины действуют в одну сторону или - в противоположные? Согласитесь, могут иметь место оба варианта, причем, в диапазоне линейности. И в Ваш ответ никак не входит коэффициент их жесткости (или как он называется, склероз, однако). И еще. Сила трения, пропорциональная скорости движения, хм... При небольших скоростях она постоянная. Может, меняется при больших. Не знаю досконально. Где это учтено в решении? А можно дать ссылку на источник задачи?

[Konstantin(KOT)]

erokha_lis в сообщении #414223 писал(а):

Скажите, пожалуйста, а Вы уверены в корректности поставленной задачи? Ну, первый вопрос: пружины действуют в одну сторону или - в противоположные? Согласитесь, могут иметь место оба варианта, причем, в диапазоне линейности. И в Ваш ответ никак не входит коэффициент их жесткости (или как он называется, склероз, однако). И еще. Сила трения, пропорциональная скорости движения, хм... При небольших скоростях она постоянная. Может, меняется при больших. Не знаю досконально. Где это учтено в решении? А можно дать ссылку на источник задачи?

Еще раз добрый день, на тело $m$ действует одинаковые по модулю но разные по знаку силы упругости, пружины работают на сжатия, если на данном этапе пренебречь весом тела m, то тело будет находиться в среднем положении а силы упругости вызванные предварительным сжатием пружин будут друг друга компенсировать. Если данное положение взять за точку отсчета то второй закон Ньютона будет иметь вид:
$ma - 2bv + 2cx = 0$
Теперь допустим, что на основание действует вибрация. Вибрация основания $m2$ будет вызывать вынужденные колебания тела $m$, т.е. будет иметь место кинематическое возбуждение колебаний. Тогда второй закон Ньютона примет вид
$ma - 2bv + 2cx = 2cx_{vib}$
где $c$ - есть жесткость пружины(жесткости пружин равны), а $b$ - коэффициент характеризующий силу вязкого трения.
Прилагаю рисунок может так наглядней будет.

Задачу преподаватель дал на лекции в качестве само проработки.

[Diffeomorfizm]

да вроде все правильно, тут если только, когда $m$ будет прижимматься к $m_2$ возвращающая сила будет нелинейная. так что лучше ограничиться теми значениями внешней амплитуды и частоты, чтобы не вылазить из линейной теории (малые колебания, когда нет никаких прижиманий)

[Konstantin(KOT)]

Diffeomorfizm в сообщении #414276 писал(а):

да вроде все правильно, тут если только, когда $m$ будет прижимматься к $m_2$ возвращающая сила будет нелинейная. так что лучше ограничиться теми значениями внешней амплитуды и частоты, чтобы не вылазить из линейной теории (малые колебания, когда нет никаких прижиманий)

Не могли бы Вы пояснить более детально что понимаете под нелинейной возвращающей силой?

[Diffeomorfizm]

ну, возвращающая сила (сила упругости в данном случае) линейная только при малых колебаниях, а если у вас тело начнет прижиматься к стенке, то колебания малыми никак не назовешь) и сила там будет уже какая-то нелинейная функция (не знаю какая)) возможно даже разрывная.

[Konstantin(KOT)]

Жаль, так как я понимаю что преподаватель хочет чтобы данный вариант, когда тело прижмется к основанию под действием вибрации, мы тоже рассмотрели, иначе смысл задавать ограничения в перемещении тела

[erokha_lis]

Уважаемый Konstantin(KOT), Ваша задача интересна. Прежде всего тем, что Вы с одной стороны должны рассматривать систему взаимодействующих тел, с другой стороны Вам приходится также анализировать поведение каждого тела системы в отдельности. Я подумал над проблемой (признаться, не очень усердно) и на мой взгляд Вы столкнетесь с системой двух диффуров второго порядка. Причем, именно, с системой, а не двумя независимыми уравнениями. Я нарисовал их для себя, как я это понимаю. Как решить, не очень представляю. С удовольствием поделился бы с Вами своими соображениями, но меня немного ломают установленные правила набора формул на форуме. Я никогда не юзал ТЕХа, обходился другими средствами (во время моего активного писания статей вообще ограничивались написанием формул в текстах от руки, а потом я, по-просту, выжимал все имеющиеся возможности из общеупотребительных пакетов). Так вот, если Вам еще интересно, пришлите мне свой электронный адрес, а я попробую втиснуть свои рассуждения в какой-нибудь общеупотребительный формат. Извините, не обещаю, что быстро.